Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

194 A. Hurwitz und F. Rudio:
Es sei jetzt e eine beliebige Zahl < q und n4 ein Vielfaches von e
ebenfalls < q; dann ist
(n4e)! = (9. 24 * *a. n) (1. (4- + 1) (2- + 1) (( n - 1) + 1))
(2. (4 + 2) (2 + 2) * ((n - 1) + 2))... (( - 1)(e + - 1)(2a + - 1)...)
d. h. -
n-1 n-1 n-1 n-l
JJ(a + 1) i (.J ( + 2).J(6 + 3).JJ(a5 + e).
a=-O - ==0 O = a —O
Setzt man
q= e1 +- r1, 2q = eS + - r2, 3 q e3 -- r3,... (- - 1) q-= e4_ -1+ ri,
so sind alle r < 4 wieder die Zahlen 1, 2, 3, ** - 1 in anderer Reihenfolge, folglich
(n4e)! = -I(, + r1) n(64 + rI)) *(a)(( +,) )... ( +r_ i-1) rL(ae + )
H7 erstreckt sich immer von 6 — o bis a = n 1.
Aber es ist r1 - -- ei, r2 - e2,*, * r9-l - -- e-i,4 (mod. q),
folglich
(n4.)!- n. * I (6 - -e) LI(a - e). * * I()i - e_i1) i-(6 + l) (mod. q).
Man hat auch, wenn e - r1, - r. * * - r —1 statt r1 r2 etc.
gesetzt werden, was ebenfalls erlaubt ist,
(n4)! = 1I(6 - r1) IT(u4 - r2). * * 7(a - r _1) 1I(6e),
wo jetzt von 1 bis n sich erstreckt; also auch wegen - r - e1 4,
r- -- e24 etc.
(n4)!- H 7(5e + ee) 7H( U + e,2) *.. 1 (a4 + 4e -i) H( e)
_- _1 -1(6~ + e1) 11(6 + e2) *.. 1(6 + e, —1) 7(6) (mod. q).
Nun ist 7T(o + e) = ( + e) (2 + e) (3 + e).. (n + e) nichts
(=1
anders als ( +, folglich hat man
9^2n! (n + el)! (n + e2)!. (n + e9._-!)
)(n4) —!. e- i (mod. q),
_/ ^ \ 9 ^7 / e s-i -: 9 1 -wo - E(), 2 *. - (( -1)q
ist, nach der Legendre'schen Bezeichnung der grössten Ganzen; da nun allgemein
^ r r8)"'