Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Itaque si inter duos numeros medietates arithmeticam et harmonicam,
inter eas rursus easdem earum medietates interposuerimus eodemque
modo semper progressi erimus, magis magisque geometricae illorum numerorum medietati adpropinquabimus. Sint numeri 1 et 3 sumpti; itaque
hac ratione quater usi, has fractiones reperiemus:
2 3 7 A 12 97 > 168 19817 3 2592
-1 2 ~e4> V 7 '56 97 ~ 10864 19817
7 97
4 > 1/3 duabus prioribus rationibus inventumn est; etiam - > /3. Adparet ex fractionibus tertio loco positis erui posse minorem illum Archimedis terminum; nam 168 + 97 - 265, 97 + 56 - 153. Sed offendit,
quod hac ratione ad ipsas illas fractiones ab Archimede sumptas non
pervenitur."
Heiberg betont selbst die Bedenken, welche der Anerkennung dieser
Rechnungsweise als einer ächt archimedischen entgegenstehen. Bemerkenswerth ist allerdings, dass ganz von selbst der von Gerbert (Kap. I, ~. 11)
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gebrauchte Näherungswerth sich ergiebt, allein zur Gewinnung von 15 muss
a c
Oppermann von dem Satze ausgehen, dass die Näherungswerthe b und -
den Bruch
a- c
b-+d
als neuen Näherungswerth aus sich hervorgehen lassen, und diese mit Bewusstsein erst von Etienne de la Roche (vgl. ~. 4) erkannte Wahrheit bereits in die vorchristliche Zeit verlegen zu wollen, erschiene uns allzu
gewagt.*)
*) Anhangsweise möge zu der Oppermann'schen Methode bemerkt werden,
dass dieselbe von einem anderen dänischen Mathematiker, Steen, zum Ausgangspunkt für eine selbstständige Bearbeitung des Gegenstandes genommen worden
ist 237). Die Berechnung von 1/3, welche Steen giebt, ist allerdings nur eine
verklausulirte Kettenbruchentwickelung, dagegen scheint sich ein anderer einfacher Gedanke, der daselbst Ausdruck findet, gerade für einige archimedische
Quadratwurzeln sehr wohl zu empfehlen. Ist nämlich A eine sehr grosse Zahl,
so führt das Anschreiben einer oder der anderen der beiden gesetzmässig fortschreitenden Ungleichungen
ac > > a -, a > A > a- i,
2a 2a — 1 2a - - 2a - 2
2 a> A > 2 ~ 2 > VA >
4a 4a - 4a - 2 4a - 3
4 >yA> -4 4 >4A> -