Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

188 A. Hurwitz und F. Rudio:
nun ist d S= p- CxP-1 + m '-dy = a, xP- + R - x +
(mod. n) wegen p E — mmn',1 - = m'; also geht die vorhergehende Kongruenz
pi
in m' x -i + 1 ' ( - x4) 2 (mod. mn) über; vergleicht man auf beiden
die Koeffizienten von xP-1 und bemerkt, dass diese Potenz xp-1 in R'
nicht vorkommt, weil xp in X? nicht enthalten ist (1' = ), so erhält
2,-1
man i' -- dem Koeffizienten von x2-1 in (1 - x') 2,d. h. in' - dem
Gaussischen Binomialkoeffizienten (mod. in) u. s. w. Diese Untersuchungen
nebst mehreren anderen arithmetischen Anwendungen der elliptischen Funktionen werden vielleicht auch bald das Licht erblicken. Ich mache Sie
noch besonders hierbei auf diejenige fruchtbare Erweiterung des Begriffs
der Kongruenz aufmerksam, wonach zwei unendliche Reihen nach Potenzen
von x ao +, aX, x 2 + x2+ -.* und bo- +bl x + b x2 +... kongruent
heissen, wenn ao =bo, aG1 -- bl, a2 - b2 etc. ist; die Konvergenz oder
Divergenz der Reihen bleibt hier ganz aus dem Spiel. - In Bezug auf
die unendlichen Reihen nach Potenzen von x verspricht besonders der
folgende Satz über die Entwickelungskoeffizienten der algebraischen Funktionen
viel für die Arithmetik.
~Es seien fl (ul1, 2,' *,, x) =, fg (u, * * * u, x) = u. s. w.
f (Ui 021: * *,' 31 x) == 0 n algebraische Gleichungen zwischen den n + 1
Variabeln ul, ~ ~ ~ ut, x vermöge welcher Gleichungen jedes u eine algebraische
Funktion von x ist; es wird angenommen, dass f1, f2, * f, als rationale
ganze Funktionen von uq, qu, ' ' x mit rationalen Koeffizienten gegeben sind;
entwickelt man u als Funktion von x nach steigenden Potenzen von x, so
werden die Koeffizienten der Entwickelung, wenn sie rational sind, lauter
Nenner haben, welche nur durch eine bestimmte endliche und begrenzte
Anzahl von Primzahlen teilbar sind; diese Primzahlen sind die Teiler
einer bestimmten Zahl A, welche man so erhält: man bilde die Determinante
aus den Differenzialquotienten
dfi dfi dfi dfi
dul ' dU, ' duU, ' dui,
(df, d 2 (1 f2 d f2
du' du2 du,' duX
df, dfn df. df
du 6 d u2 du d u,
und setze statt uz, t2 * z, die simultanen Wurzeln der nz Gleichungen