Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

Briefe von G. Eisenstein an M. A. Stern. 179
und zwar enthalten sie alle Potenzen und Produkte, in denen die Summe
der Exponenten von p und q zusammen < t ist; die numerischen Multiplikatoren dieser Potenzen und Produkte, die nun nicht mehr von mn noch
von p abhängen, sind reelle Zahlen, was sich keineswegs von selbst versteht, da sie a priori betrachtet, ebenso gut complex (imaginär) sein könnten.
So ist z. B. A = m, A1 =m n -- - q -
35 p2 + 14 pq - q2- 384p - 84 q + 420 etc
56 =m 5o ~ 180, etc....
B - -p+q B 35 p- 70p q — q2-300p- +336q et
21- 1 2 56 -180 etc....
In B, kommt kein konstantes Glied vor; die höchsten Potenzen von p
in B', und - At haben denselben numerischen Multiplikator. q bezeichnet,
wie gesagt (a + bi)4 und p die Norm a2 + b2.
3) Bildet man nach dem bekannten Newton'schen Theorem aus den
Koeffizienten, etwa denen B des Nenners, die Potenzsummen der Wurzeln,
etwa indem man setzt
S1 +B, =O, S2 +1S+2+ B2 =, S3 +BS2+B2S + 3B3 =0, etc.,
so enthalten alle S das p nur linear, d. h. in der ersten Potenz allein.
Dies ist ein Fundamentalsatz für die Koeffizienten. Bringt man ihn mit
einem anderen, ziemlich merkwürdigen Princip in Verbindung, welches, Sie
mögen es mir glauben oder nicht, davon abhängt, dass die Zahl X grösser
als 2 ist, so kann man allein hieraus so viele Koeffizienten berechnen, als
man will, wovon ich oben eine kleine Probe gegeben habe.
4) Die Koeffizienten brechen von selbst ab (natürlich für ein ganzes
complexes mn), sobald der Index g die Zahl - - überschreitet, in ähnlicher
Weise, wie dies bei den Binomialkoeffizienten und bei denen der Fall ist,
welche in der Entwickelung von Sinus der vielfachen (ungeraden) Bogen
nach Potenzen von Sinus der einfachen Bogen vorkommen.
5) Wenn in eine zweigliedrige complexe Primzahl, also p eine reelle
Primzahl 47 +- 1 ist, so sind alle Koeffizienten _ 0 (mod. mn). Dieser
Satz, welcher dem für die Polynomialkoeffizienten im Reellen analog, ist
besonders wichtig für die Anwendung auf Reciprocitatssätze und auf die
Teilung der Lemniscate. Das biquadr. Fundamentaltheorem lässt sich unmittelbar daraus ableiten und ich habe diese specielle Anwendung Gauss
mitgeteilt, der sie zu meiner grossen Freude benigne aufgenommen hat.
Von einer Menge Beispielen, die ich mit grosser Mühe berechnet habe, will
ich Ihnen ein recht eklatantes aufschreiben. Für in =- 3 + 2 i, p = 13
hat man
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