Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

178 A. Hurwitz und F. Rudio:
dy2 mdx
ebenso wie analog das Integral von -- = - für ein ganzes
yi - y^ yi - x2
reelles und ungerades m eine ganze rationale Function von x ist, nämlich,
wie bekannt
(m2 _ ) 3 m- (mg 2 -- 1) (nm - ( 1 a)
iy=mx- 1. 3) +- 1 2.3.4.5 x 5-*1+( —1) % 2"'-1xx.
Hier nun ist es leicht, die Koeffizienten durch Einsetzen in die Differenzialgleichung zu bestimmen. Ganz anders verhält sich die Sache, wenn y eine
gebrochene Funktion von x ist, wie in (1.); es ist dann gänzlich unmöglich,
nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten aus der Differenzialgleichung auch nur einen einzigen Koeffizienten des Zählers oder Nenners
zu finden, nicht etwa wegen der Weitläufigkeit der Rechnung, die man
doch überwinden könnte, sondern weil die Sache in sich unmöglich ist,
wovon Sie Sich leicht durch einen Versuch überzeugen können. Natürlich
meine ich die allgemeine Bestimmung der Koeffizienten für ein unbestimmtes m, denn dass man für specielle gegebene Werte von mn die
Koeffizienten des Zählers und Nenners aus der Diff. G1. numerisch
berechnen kann, versteht sich von selbst, aber man erkennt daraus nicht
den Zusammenhang dieser numerischen Werte mit dem jedesmaligen m.
Dies hat auch nichts Frappantes mehr (so wunderbar es anfangs erscheint),
sobald man die Form der Koeffizienten erst kennt; denn sie sind gar nicht,
wie ich anfänglich glaubte, Funktionen von m allein, sondern auch von
der Norm von m, ca2 + b2-= N(m), die ich mit p bezeichnen will, und
wie sollte wohl diese Norm vermittelst der Differenzialgleichung irgend eingehen können! Man muss also ganz neue Methoden anwenden und ich
bin durch solche endlich zu dem gewünschten Ziele gelangt. - Wenn mn
primär d. h. - 1 (mod 2 + 2 i) ist, was ohne Schaden der Allgemeinheit
angenommen werden darf, so finde ich unter anderm, um Ihnen ein kleines
aper9u zu geben:
Ao+Axl4+A, 8+. _+A,_5 XJ-+p —l
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1) y hat die Form:' y=x --
1 +.B1 X4 x B * - *'' + B, —Sxp-5 + Bjp-1x) —'
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wo alle Koeffizienten A und B ganze complexe Zahlen sind, und es ist
hierbei A = B1_p-1 A == B",-5, etc., Ap_5 == B1, so dass im Zähler
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genau dieselben Koeffizienten vorkommen, wie im Nenner, nur in umgekehrter
Reihenfolge.
A
2) Setzt man brevitatis causa 4 = q, so sind B, und -l ganze
Funktionen von den beiden Variabeln p und q von der bten Ordnung,