Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

174 A. Hurwitz und F. Rudio:
dass er sich in ein paar Zeilen mittheilen lässt. Der Hauptunterschied
zwischen meinem Gange und dem Gaussischen besteht darin, dass ich nicht
wie Gauss die Zahlen < p, in solche < - und in solche > 2 theile,
sondern in gerade und ungerade. Es sei A, B resp. der Complex der
geraden, ungeraden Zahlen <p; k sei eine nicht durch p theilbare ungerade
Zahl; die Reste der Vielfachen kA, welche in A fallen, seien a, diejenigen
in B seien 3, dann werden offenbar alle a zusammen mit allen Zahlen
der Form p + (- 1)f alle A erschöpfen, und man wird die beiden
p-i1
p - t
~~~p- ~~~~~~~~1 ~/1 A7
woraus folgt kc 2 - (- 1)f; aber offenbar ist 27cA - Ep27E(-
-+ S + Z:~, und da alle A so wie alle a gerade, und p 1 (mod 2)
ist, so folgt hieraus 2 ZE- p( ) (mod 2); und durch eine leichte
Transformation, oder schon durch geometrische Betrachtung, erhält man,
weil k7 1 gerade ist, XE p) - E((p) + E - E ) + \
+ +
/P1 - iP
+4 -^ - ( P ) (p $+)(p- + (mod 2).
Wird letztere Summe durch S bezeichnet, so hat man also auch
2 -_ ( 1)S (mod p), d. h. (p) = (- 1y.
Ebenso findet man, wenn lc auch eine Primzahl ist, (-) (- 1)7,
wenn T = E ) + < +... + E(k ) ist.
Nun ist S die Anzahl der Gitterpunkte in einem Rechteck mit den
p-l k
Dimensionen 2 und -2 welche zwischen der Geraden, deren
Gleichung y==-x ist, und der Achse der x liegen, T die Anzahl der
Gitterpunkte, welche in jenem Rechteck zwischen derselben Geraden x -=7 y
und der Achse der. y liegen, also ist S +- T die Gesammtzahl der Gitterpunkte jenes Rechtecks, nämlich S2 2 n also kommt (-) ()
p-i k-1
= (- i)s T (- 1) 2 2, quod erat demonstr.
Wie glücklich würde sich der gute Euler geschätzt haben, diese paar
Zeilen vor etwa 70 Jahren zu besitzen.