Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Bezeichnet man die Seite des grösseren Quadrates mit cr, so ist 224)
A - a2 A- + a2 1 /
~a == 2a + a 2 + a '
Nun hindert aber gar nichts, aus a eine neue Annäherung a' ganz
ebenso herzuleiten, wie ar selbst aus a hergeleitet ward, ebenso dann aus
c' ein neues a", u. s. f. Der ganze Process wird dann durch folgende
Reihe von Gleichungen dargestellt:
l, A\, l/ A\ - A\ ", l/ " A+\.
a 2= a/+ ) 2 2\ a (/+ 21\ G' +
Dieses Verfahren verhilft uns, in richtiger Weise angewendet, zu den
archimedischen Näherungswerthen in einer dem ersten Anscheine nach geradezu überraschenden Weise. Nehmen wir nämlich*) a- =-, so ergiebt
sich sofort
1 /5 9\ 26, /26 45\ 1351
2 5J 5 2 \ 1 5 + 26} 780
(26 265
Wollte man also annehmen, dem Archimedes sei die Näherung 1 i 153
15 153
belfannt und bewusst gewesen, so hätte man allerdings mittelst der zweiten
Buzengeiger'schen Näherungsmethode die charakteristischen Zahlen Archimed's
mit Einem Schlage erhalten. Allein dem gegenüber muss eben immer
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wieder daran erinnert werden, dass die Zahl 1, so naheliegend sie ist,
wohl bei Heron und bei anderen alten Schriftstellern, nicht jedoch in der
xvKxov E4rQnLKg selbst vorkommt. Immerhin ist es der Mühe werth, festzustellen, dass diese Methode wohl die einzige ist, welche die sonst nur
1351
allmählich zu berechnende Zahl -- leicht und sicher liefert, mit Aus780
schluss aller jener minder genauen Näherungswerthe, für deren Nichtbenützung Seitens des Archimedes wir bislang einen voll und ganz befriedigenden Grund nicht ausfindig zu machen im Stande gewesen sind.
Auf die archimedischen Näherungszahlen hat Buzengeiger wohl zuerst
dieses überaus schnell zum Ziele führende Verfahren angewandt, und es ist
26 1351
*) Buzengeiger ist der Ansicht, man müsse von ausgehen, um 71 zu finden;
15 780
26 5
er übersieht, dass 5 ganz ebenso aus -, dem zweiten Näherungswerthe von 1/3,
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der kleiner als die Wurzel selbst ist, hervorgeht. Die wahre Ursache dieses Sachverhaltes, über welchen der Erfinder sich selbst nicht genügend klar geworden, wird
uns demnächst offenbar werden, wenn wir die beiden von jenem angegebenen
Verfahrnngsweisen unter einander vergleichen.