Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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rationalen Quadraten AEFG und A HJK, deren Seiten man willkürlich
- natürlich möglichst nahe an AB - nehmen kann, sei das erstere
kleiner, das andere grösser als das ursprüngliche Quadrat. Jetzt kommt
es darauf an, ein neues Quadrat von rationaler Seite x so zu construiren, dass
D AEFG < x2 < O AB CD
werde, denn wenn die Verzeichnung eines solchen Einmal gelungen ist, so
kann der damit gegebene Annäherungswerth offenbar beliebig weit getrieben
werden. Buzengeiger macht auf der über G verlängerten FG eine Strecke
GL = FG und vervollständigt das Rechteck LL'CC', dann ist
Rechteck LL'CC' = Gnomon FEBCDG == O ABCD - 1 AEFG.
FC' wird nun verlängert, bis es die Quadratseite JH in N trifft, und
nun an die Strecke L N ein Rechteck so angestreckt, dass
Rechteck LNN'L" = Rechteck LL'CC'
wird. NN' = C"C' muss mithin < (CC' = DG) sein, und der Punkt F',
in welchem L"N' die Diagonale trifft, muss zwischen F und C zu liegen
kommen. Das entsprechende Quadrat AE'F'G' kann also für das gesuchte
Quadrat x2 gelten.
Wird D AB CD schlechtweg mit A, Seite AE mit a, Seite AH mit a
bezeichnet, so ist Rechteck LL'CC' = Gnomon FEBCDG == A - a2,
Rechteck LNN'L" nach Construktion gleich (a + o) NN', sonach
NN'= A - a
a - a
Jetzt ist AE' = a + EE' = a + NN' leicht zu finden; man bekommt nämlich
AE' a'a +a A- a2 a2 -A
AE' = a a-I a - a — a —
a +- a a -t- a
Denkt man sich jetzt vom Quadrate A E'' G', wie vorhin vom Quadrate
AEFG, ausgegangen und eine neue Quadratseite a" > a', jedoch < /A,
ermittelt, so muss sein
a2 -- A a2 - A a2 - A2
a' - c + a- 2a -
a -{- a
Setzt man dieses Verfahren fort, so erhält man den nten Näherungswerth durch den Kettenbruch
a2 _ A
2~ -____ 2 ___ A1
2 a- a2 -- 2 - A
2a -
e a. a.