Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Die im Schema fettgedruckten ganzen Zahlen sind bekanntlich die
Theilnenner des sich ergebenden Kettenbruches und zugleich einerlei mit
den von Hauber eingeführten Coefficienten P,, /,.., mit deren
Zahlwerthen sie denn auch wirklich der Reihe nach übereinstimmen. Man
überzeugt sich, dass unser obiges Entwickelunsgverfahren völlig das Hauber'sche
ist, und kann sich kaum des Gedankens entschlagen, dieser Gelehrte habe
die Methode von Lagrange einfach antikisirt. Die ganze Einkleidung jedoch
und die Persönlichkeit eines so bewährten Mannes bürgen wohl für das
Eigenthumsrecht Hauber's, und so bleibt nur übrig, ein sonderbares Zusammentreffen anzunehmen. Daran freilich vermögen wir nicht zu glauben,
dass Archimedes seine Naherungswerthe wirklich auf diesem Wege gefunden
und jede Mittheilung einer so hervorragenden Erfindung unterdrückt haben
sollte, da er doch alle arithmetischen Kunstgriffe, die ihm z. B. bei seinen
Untersuchungen über die Schneckenlinie gedient haben, uns nicht vorenthält.
Die für die ganze Entwickelung grundlegende Beziehung
1_ _ a + I_ b
y/a- I ~b~ a-b
ware freilich dem X. Buche der euklidischen Elemente zu entnehmen
gewesen 221), allein wie soll man erklären, dass die Kenntniss dieser
bequemen Umformung mit Archimedes verloren gegangen und erst durch
die Araber (Kap. I, ~. 15) wieder aufgenommen worden wäre? Wir
werden übrigens noch später einmal auf die Lagrange'sche Behandlung der
Quadratwurzel in Verbindung mit einem anderen geschichtlichen Momente
zurückzukommen haben.
~. 10. Die Methode von Commandin und die erste Mfethode von Buzengeiger. Bereits im XVI. Jahrhundert hatte Federigo Commandino, der bekannte Uebersetzer und Bearbeiter alter mathematischer Werke, in seinem
Commentar zum Archimedes eine Construktion angegeben 222), mittelst
deren die Quadratwurzeln decimaler Zahlen leichter uud bequemer zu finden
sein sollte, als durch die allerdings ähnliche Construktion des Theon, welch'
letzterer nur die Bedürfnisse der,Astrologen" - besser gesagt, des Sexagesimalcalculs - berücksichtige. Diese Zeichnung nun hat Buzengeiger 223)
in algebraische Formeln umgesetzt, und so kann man wohl mit Grund von
einer Commandin-Buzengeiger'schen Methode reden. Da jedoch in dem
zuletzt genannten Aufsatze auch noch ein anderes Verfahren zur Ableitung
der archimedischen Resultate in Vorschlag gebracht wird, so haben wir für
die Titelaufschrift dieses Paragraphen eine dem entsprechende Form gewählt.
ABCD (Fig. 10) sei ein rationales Quadrat, dessen Seite es annähernd in rationalen Zahlen zu ermitteln gelte. Von den beiden ebenfalls