Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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(n +- 1) zu erhärten, wir ziehen es aber vor, einen wenn auch etwas weitläufigeren Beweis für sie zu geben, der uns zu einigen nicht uninteressanten
Nebenbetrachitungen Anlass geben wird. Bezeichnet wieder P1: Qk den
kten Näherungswerth des mit /3- 1/12 + 2 identischen Kettenbruches
2
1 2 2 1 + 2 +
I2 -+-i+.......
so gelten für diese P und Q Bedi ngungsgleichungen in reicher Fülle, von
denen wir einige für uns wichtige hier namhaft machen wollen:*)
I. Hülfssatz. Es ist
~2k Q2k __
P2~ 2 2k k- 2
II. Hülfssatz. Es ist
-2 4.
P2k- 4 Q2k -4
*) Auf die Beweise dieser vorbereitenden Sätze gehen wir hier aus dem Grunde
nicht näher ein, weil dieselben an einem anderen Orte (in den Mem. de la soc.
des sciences phys. et nat. de Bordeaux) im Zusammenhang gegeben werden. Lediglich, um darzuthun, wie man jeden solchen Einzelsatz, wenn man sich von
dessen Existenz vorher irgendwie erfahrungsmässig überzeugt hat, nachträglich zu
verificiren vermag, geben wir hier für N. IV. einen einfacheren Beweis, als es am
angeführten Orte geschehen ist. Da zur Rechten eine constante Zahl steht, so
muss es genügen, die Gleichheit
P2k +- 1 22k - 2 - P2k - 1 Q2k P2k - 1 2k - 4 P2k - 3 2k - 2
zu erweisen. Man bildet also die Rekursionsgleichungen
2k =1 2 P2k + 2k - 1, Q2k = 2k- 1 + Q2k- 2,
2k P= 2k - 1 2- + 2, Q2k - 1 2 Q2k- 2 + 2k - 3,
-2k - = P2k - 2 + P2k- 3, Q2k- 2 Q2k- 3 + Q2k- 4
und eliminirt aus dem ersten Systeme P2k und P2-_ 2, aus dem zweiten Systeme
Q2k- 1 und Q2k- 3, weil diese P und Q in der zu verificirenden Gleichung gar
nicht vorkommen. Wir erhalten so
P2k + 1 = 4 P2k - 1 P2k - 3, Q2k = 4 Q2k - 2 Q2k - 4,
und setzen wir diese Werthe ein, so folgt
2k + 1 Q2k - 2 - P2k - 1 Q2k = 4 P2k - 1 Q2k - 2 -- P2k - 3 2k- 2
- 4 P2k - 1 Q2k - 2 + P2k - 1 Q2k - 4 1= P2k - 1 92k - 4 - 12k - 3 Q2k - 2,
wie behauptet war. Nun ist P -= 19, Q =- 1, P3 =5, Q4 = 4, sohin P5 Q2
- 9P Q4= 19 - 20 - 1. Dieser Einzelwerth muss aber, wie wir sahen, allgemein gelten.