Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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tisches Interesse beanspruchen darf und geradezu in den mathematischen
Unterricht übergeführt zu werden verdient. Kürzer, als es von dem Erfinder selbst geschah, kann der eigentliche Kern des Verfahrens durch den
folgenden Lehrsatz gekennzeichnet werden:
Entwickelt man /A-= /a2 + b in den bekannten eingliedrig-periodischen Kettenbruch
a q- _
2a + b
2a-.-,
so kann die Berechnung der einzelnen Werthe mittelst der Relation
Pn aPn_ +A -Qn_1 l P ap
Q. Pn-I+ aQn- Q\ -
geleistet werden, man bedarf also, um irgend einen Näherungsbruch zu
finden, die Kenntniss blos des zunächst vorangehenden Näherungsbruches,
nicht, wie bei der gewöhnlichen rekurrenten Berechnung, der Kenntniss
zweier vorhergehender Näherungsbrüche.
Der Beweis dieses Satzes, der für die Rechnungspraxis von entschiedenem Vortheil und in der obigen Form vermuthlich auch neu ist, lässt
im Originale an Klarheit und Einfachheit viel zu wünschen übrig. Am
Schnellsten führt wohl die folgende Ueberlegung zur Erkenntniss seiner
Richtigkeit. Wir setzen den Satz als wahr voraus und haben also
Pn aPn - + (a' + b) n-i a(Pn + aQ, 1) + bQnQn Pn-1 +aQn — P- -1 + aQn-i
oder
-- =- -.p n - J_ _ 6_
P a 'Pn _ a bQn b
Qn nlPn-1 + aQ -Q+ Pn-1
Qn-1
P
Denken wir uns jetzt für Q-2 seinen entsprechend berechneten Werth
Qn -1
eingesetzt, so ergiebt sich
Pn b
Qn 2a + ----
a+* 'Qn-2
In dem nämlichen Sinne weiter folgernd, nehmen wir wahr, dass uns
die hypothetische Annahme des Lehrsatzes zu der bekannten Relation
P n,6 b
Qn a + -2a + b
h zr Gs de IV...+
2a
Abh. zur Gesch. der Mathem. IV. 5