Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

- 63
wählen? Annähernd schmiegt sich diesem Berechnungsverfahren nur noch
9
1/3380929 ~ 1838 + 1
an, zu welcher Wurzel Nesselmann 210) eine uns interessirende Bemerkung
macht: ~Es bietet sich uns hier die merkwürdige Erscheinung dar, dass
die Methode der Kettenbrüche der Reihe nach folgende Werthe giebt:
1, 3, 4, 11 u.. w.; nun ist ~ zunächst zu klein; es hat also fast den
9
Anschein, als sei deshalb von Archimedes - gewählt worden." Man sieht,
dass alle diese Betrachtungen sich rein auf dem Boden der Hypothese bewegen. Die Möglichkeit, dass Archimedes eine wirkliche und dem Princip
nach unseren Kettenbrüchen analoge Methode gehabt habe, ist nicht wegzustreiten, allein ganz gewiss ist auch, dass er die heute gewöhnliche staffelförmige
Entwickelungsform nicht kannte, und mindestens sehr wahrscheinlich, dass
ihm auch die Rekursionsformel für -Q, an welche wir in ~. 4 zu erinnern
Qk'
hatten, nicht geläufig gewesen ist. Er wäre, wenn diess der Fall, ganz
1371
gewiss nicht bis zu 780 vorgegangen.
Einigermassen fester ist schon der Boden, welchen wir bei Prüfung der
von Theon Smyrnaeus mitgetheilten Zahlwerthe unter unseren Füssen fühlen.
Was an Thatsachen in dieser Beziehung vorliegt, ward in ~. 6 des ersten
Kapitels zusammengestellt, und es übrigt nur, ein Urtheil auf diese Thatsachen zu begründen. Es ist die Annahme kaum abzuweisen, dass von
Theon die Untersuchung über die durch die Gleichung c2 2 = 2a2 + 1 unter
einander verbundenen Grössen d und a einzig und allein zu dem Zwecke
begonnen ward, um brauchbare Näherungswerthe für /2 zu erhalten, indem
er dabei, wie wir sahen, an die zahlentheoretischen Liebhabereien der altplatonischen Schule anknüpfte.,Berücksichtigt man weiter,' sagt Cantor
211), ~dass die Bildungsgesetze der Seiten- und Diametralzahlen genau dieselben sind, welche die Nenner und Zähler der aufeinanderfolgenden Näherungswerthe für den Kettenbruch
i -- i i
+ 2+ +
2 +...
entstehen lassen, so wird man wohl zu der oben ausgesprochenen Behauptung genöthigt, die Griechen seien, natürlich nicht der Form nach, wohl
aber der Sache nach, mit der Kettenbruchentwickelung von 1/2 und mit
dem Gesetze der Näherungswerthe dieses Kettenbruches bekannt gewesen."