Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Das einzige, unserer Ansicht nach wirklich schwer wiegende, Gegen-Argument hat mit gewohntem Scharfblicke kein Geringerer als Gauss geltend
gemacht, indem er jedoch auch zugleich ein Mittel an die Hand gab, die von
ihm angegriffene Theorie durch einen neuen Grund zu stützen. Indem er
nämlich die bereits erwähnte philologisch-mathematische Schrift von Mollweide einer eingehenden Besprechung unterzieht 208), sagt er u. a., es sei
nicht recht abzusehen, weshalb Archimedes, wenn er wirklich auf irgend
einem methodischen Wege zu den von ihm benützten Näherungswerthen ge362 989
langt sei, die Werthe 3 und _ ganz ausser Acht gelassen habe; man
209 571
möchte schliessen, er habe letztere eben wirklich nicht bemerkt und sei
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mehr durch einen glücklichen Zufall auf 780 verfallen. Hiegegen macht
er dann aber selbst folgenden Einwurf 209):,Herr Mollweide glaubt, Archimedes habe jenen Bruch deswegen gewählt, weil er der einfachste von
denen sei, deren Zähler zur Ordnung der Tausender gehören, allein dieser
Grund scheint uns nicht befriedigend. Wir finden es vielmehr wahrschein1351
licher, dass er den Bruch 780 deswegen vorzog, weil er fand, dass der780
selbe zufälligerweise beim weiteren Fortgange der Rechnung eine bequemere Vereinfachung darbietet, so dass sich beym 24. Eck für 'dasjenige
Verhältniss, welches, nach unserer Art zu reden, 1: cotang 7~ 30' ist, eine
äusserst nahe Grenze sehr einfach durch 240: 1823 vorstellen liess. Diesen
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Vortheil hätte er entbehren müssen, wäre er ursprünglich vom Bruch 209
ausgegangen." Niemand wird dieser Auffassung das Lob eines tiefen Eindringens in den dunklen Sachverhalt absprechen können, doch lässt sich
wohl nicht behaupten, es sei damit die Frage, warum der Geometer von
Syrakus gerade diese und keine anderen Werthe für seine Zwecke heranzog,
nun endgültig erledigt.
Was die anderen archimedischen Quadratwurzeln anlangt, so will die Kettenbruchmiethode, wenigstens wenn man sie unmittelbar anwendet, keine ganz
genügenden Ergebnisse liefern. So ist beispielsweise vonArchimedes (Kap. I, ~. 3)
1/349450 ~ 591 +
gesetzt worden. Die übliche Kettenbruchentwickelung, resp. die in ~. 2
dieses Kapitels besprochene Formel, würde
169
1/349450 = /5912 + 169 - 591 + -18
ergeben, und dieser letztere Werth ist von 5911 doch nur um einen ganz
minimalen Betrag verschieden. ieso also omt Archedes dazu 1
minimalen Betrag verschieden. Wieso also kommt Archimedes dazu., - zu