Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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die obige Exponentialfunktion umgewandelt. -- Der mathematische Kern
dieser Summation einer Reihe, bei welcher die Glieder schliefslich unendlieh dicht aneinander gerückt werden, ist, wie man leicht erkennt, eine
Integration, und die entsprechende physikalische Anschauung läuft darauf
hinaus, dafs die Körper nicht mehr betrachtet werden als aus Molekülen
bestehend, die durch verhältnismiöfsig grofse Zwischenräume voneinander
getrennt sind, sondern einfach als eine absorbierende Masse, welche zwischen
den Grenzen jener Integration den Raum stetig erfüllt. In der That gelangt man auf Grund einer solchen Anschauung sehr rasch zu derselben
Exponentialfunktion.
Läfst man nnämlich durch irgend ein stetiges, homogenes Medium in
einer bestimmten Richtung irgend ein absorbierbares Etwas (sei es ein
Stoff, sei es Wärme, Licht oder eine andere Form der Energie) hindurchgehn, teilt senkrecht zu dieser Richtung das Medium in unendlich dünne,
gleiche, ebene Schichten von der Dicke dl, setzt dann die Absorption proportional einerseits dieser Dicke, andererseits einer konstanten Gröfse k,
so hat man dafür das Produkt 7 dl. Bezeichnet man ferner das ursprüngliehe Quantum jenes absorbierbaren Objekts mit a, den vor seinem Anlangen an einer beliebig ausgewählten Schicht schon absorbierten Teil desselben mit x, den wirklich anlangenden Rest also mit a - x und den in
der Schicht selbst zur Absorption kommenden kleinen Betrag mit dx, so
folgt aus der Homogenität des Mediums, dafs das Verhältnis zwischen
diesem Betrag und dem anlangenden Quantum überall dasselbe ist, mithin
hat man die Differentialgleichung:
dx
C- - X k * dl, woraus: log (a - x) -- 7l 4- Konst.
Da mit 1 auch x zu Null wird, ist die Konstante gleich log a, und man
findet sehr rasch:
X,-= a(l - c-k),
ein Resultat, worin man die Rysanecksche Funktion wiedererkennen wird.
Bei dieser Überlegung waren die Sehichten eben und von gleicher
Ausdehnung gedacht. Läfst man aber das absorbierbare Etwas von allen
Seiten her nach einem Centrum sich bewegen, giebt dem absorbierenden
Körper die Form eines Kugelschalenstücks von beliebiger Dicke und Umgrenzung, so kommt man zn genau demselben Resultat. Denn wenn auch
die Schichten dieses Körpers in der Richtung nach dem Mittelpunkte hin
an Flächenausdehnung abnehmen, so wächst doch andererseits die Koncentration des absorbierbaren Objekts genau in demselben Verhältnis, und die
Differentialgleichung bleibt dieselbe. - Einen singulären Fall hiervon, bei