Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Fühlung stand. Nun sahen wir aber (Kap. I, ~. 15), dass Alkasidi sogar
die Näherungsformel
l/a2 + b + 4a2b + b2
s8a3 4ab
gekannt hat. Wie Woepeke (a. a. 0.) bemerkte, ist der Ausdruck rechts
aber nichts anderes als der aufgewickelte eingliedrig -periodische Kettenbruch, wenn man die Theilbrüche berücksichtigt und somit bis zum vierten
Näherungswerthe fortschreitet; es ist, wie eine leichte Rechnung lehrt,.
b 4a2b + b2
~~a + ~ — b b a - 8a3 4ab
a 2a + - + a
Freilich gehört der genannte arabische Schriftsteller einer späteren
Zeit an, als der jüdische, allein eben deswegen mag vielleicht der Schluss
nicht ungerechtfertigt erscheinen: Zu Maimonides' Zeiten hatte man erst
drei Näherungswerthe in Rechnung zu ziehen gelernt, und in den zwei
Jahrhunderten, die ihn von Alkalsadi trennen, war man auch bis zum vierten
Näherungswerthe fortgeschritten. Denkt man sich den Entwickelungsprozess in dieser Weise verlaufen, so erscheint überhaupt die Entstehung
der Kettenbrüche in einem neuen Lichte geschichtlicher Continuität. Denn
ungefähr hundert Jahre nach Alkalsädi lebte und wirkte der italienische
Mathematiker Pietro Cataldi, der eigentliche und bewusste Erfinder der
unter dem Namen Kettenbruch bekannten Zahlform 199).
Es ist ja - dieser Umstand scheint von den Gegnern der hier vorgetragenen Anschauung nicht genug gewürdigt zu werden - durchaus nicht
nöthig, dass jeder Arithmetiker, der Näherungswerthe von Kettenbrüchen
berechnete, diess auch ganz und gar in dem Sinne that, welchen wir zur
Zeit mit dieser Operation verbinden. Man vergleiche nur die Beschreibung,
welche Libri 200) von Cataldi's Methode giebt; dann wird es wahrscheinlich, dass man auch vor Erfindung des Bruchstriches, also vor Leonardo
Fibonacci, recht gut einige Eigenschaften der Näherungswerthe ermitteln
konnte. Man erkannte, dass, wenn - einen kten Näherungswerth bedeutete, ~-ff mittelst der Relation
Qk+ 1
Pk+l 2a Pk + b PkQk + 2a Qk + b Qk - 1
als eine bei weitem bessere Annäherung gefunden ward. So fand man
z Pr _ a 2 2_ a2+b P3 4_ 3+3ab P4 _ 84+8a24b+b2 We
zuerst - Q 2 Q3 4a2+b Q 8a 3+4ab. Wete
ist man vor den Italienern schwerlich gekommen, allein dafür, dass man