Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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(nr. 3) Bleibt P ausserdem noch bei einer cyclischen Permutation (123)
von dreien aus jenen ftinf Wurzeln x ungeändert, so muss y' bei derselben in yy übergehen und y muss eine dritte Einheitswurzel sein.
(nr. 4) Beide cyclischen Permutationen nach einander ausgeführt, geben
wieder eine cyclische Permutation (13452) von fünf Wurzeln; daraus folgt
p5s__= 1. Das ist aber nur möglich, wenn y selbst gleich 1 ist; d. h. y
kann sich bei keiner der cyclischen Permutationen (123), (234), (345),
(451), (512) ändern.
(nr. 5) Also kann es sich auch nicht bei der zuerst vorausgesetzten
cyclischen Permutation von fünf Buchstaben ändern; denn diese lässt sich
aus jenen zusammensetzen.
(nr. 6) Also kann man durch Wurzelausziehung nicht über die zweiwertigen Functionen hinausgelangen.
Es braucht wol kaum noch ausdrücklich hervorgehoben zu werden,
dass diese Fassung des Unauflösbarkeitsbeweises sich in allen wesentlichen
Punkten mit derjenigen deckt, welche als "Wantzel'sche Modification des Abel'schen Beweises" in den Lehrbüchern mitgeteilt zu
werden pflegt.
Über die Frage, wie es mit den accessorisehen Irrationalitäten steht,
täuscht sich Ruffini diesmal (nota 9, p. 134) mit den Worten hinweg:
"wenn aus dem Ausdruck für x(") nach Einsetzung der Ausdrücke der Coefficienten durch die Wurzeln und gehöriger Reduction nicht alle Eadicale
verschwänden, so würde ein rationaler Ausdruck, nämlich x(n), einem irrationalen gleich sein müssen, was absurd ist."
Die folgenden Capitel enthalten eine ausführliche Theorie der Gleichungen dritten und vierten Grades, mit der Absicht, zu zeigen, weshalb
auf diese die Schlüsse keine Anwendung finden, welche die Unauflösbarkeit
der höheren Gleichungen beweisen. Bemerkenswert ist hier nur allenfalls
die Art, wie Ruffini die Unverrneidlichkeit des casus irreducibilis begründet: in dem allgemeinen Ausdruck für die Lösungen dieser Gleichungen
müssten die complexen dritten Einheitswurzeln notwendig auftreten, und
eben deswegen müssten die Radicanden notwendig complex sein, wenn die
Wurzeln der Gleichung reell werden sollen.
Der zweite Teil der Schrift wiederholt den Beweis der Unmöglichkeit
transcendenter Auflösung aus den beiden hier unter nr. 14 besprochenen
Abhandlungen in meist wörtlichem Abdruck.')
1) Von Ruffini's späteren Veröffentlichungen stehen die beiden folgenden
mit unserem Gegenstande noch in einigem Zusammenhang:
Aliune propriet, delle radici dell'unita; memorie dell'imp. r. istituto del