Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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zeigen, dass jene Eigenschaften einer einfachen Function von allen transcendenten Functionen nur dem Logarithmus zukommen. Ruffini's Behauptung würde also schliesslich darauf zusammenschrumpfen, dass die Auflösung der höheren Gleichungen auch mit Hilfe der Logarithmen, resp. der
Kreisfunctionen nicht möglich ist; womit es denn allerdings seine Richtigkeit hat.
Übrigens ist ersichtlich, dass eine Fortbildung dieser Gedanken Ruffini's
zu Anschauungen ähnlicher Art wie diejenigen führen würde, welche vor
einigen Jahren Herr Rausenberger seinen functionentheoretischen Arbeiten
zu Grunde legen zu müssen glaubte.
Was Ruffini's eigenen Beweis seiner Behauptung angeht, so ist der
Gedankengang desselben etwa der folgende:
Sei P (nr. 1) eine Function der Coefficienten der vorgelegten Gleichung, y == p (P) eine "einfache Function" von,P, 'p", tp", '... die verschiedenen Werte derselben, P = — (y) ihre Umkehrung. In P und y
führe man statt der Coefficienten die Wurzeln x ein. Existirt dann (nr. 2)
eine Anzahl von Permutationen der x, welche denselben Wert P, aber verschiedene Werte von y liefern, so sind alle diese unter den ', "...
enthalten. Seien nun (nr. 3, I) y', ".....y die 5 Werte von y, welche
durch Wiederholung einer cyclischen Permutation von fünf der x aus einander hervorgehen, und sei y" = f (y), so folgt, dass f5 (y') = y', d. h.
dass die fünfte Iteration der Operation f sich auf die Identität reducirt.
Bleibt ferner (nr. 3, II) die Function P noch bei einer andern cyclischen
Vertauschung von g der x ungeändert, während y' dabei in y(a) = - (J')
tibergeht, so folgt ebenso, dass Fg (y)- y sein muss. Es werde nun angenommen (nr. 4), dass P sowol bei der erwähnten cyclischen Permutation
von fünf Wurzeln x, als auch noch bei irgend einer andern cyclischen
Permutation von zweien, dreien oder vieren derselben ungeändert bleibt,
und dass y bei der ersten seinen Wert-ändert: dann folgt, dass es ihn
bei der zweiten beibehalten muss. Denn sei erstens y(a) gleich einem der
fünf ersten Werte y', y"... y(v), etwa -= fP (/), so folgt aus F((y) () = /,
dass fP (y) =_ y sein muss, yI(a) = y'. Ist aber zweitens y("<) von allen
jenen fünf Werten verschieden, so setze man f(y("C)) = f/ (y') = F (y');
dann wird y' in F (') übergeführt, durch eine cyclische Vertauschung von
fünf Wurzeln x, sodass, wie im ersten Fall F5 () = y und vermöge der
Vertauschbarkeit') von f und 2~: f5 ip5 (y) =- y also auch /5 (y) y und
damit F (y) = y folgt, der Voraussetzung zuwider. Nr. 5 enthält den
analogen und analog bewiesenen Satz für zwei cyclische Permutationen
1) In dieser Vertauschbarkeit liegt der Kern des Beweises.