Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Eigenschaften der Functionen, auf welcher jene mit dem paradoxen Titel
beruht. Auch in dieser suchen wir vergebens nach einer greifbaren Definition dessen, was Ruffini unter einer Function, speciell unter einer einfachen Function versteht. Wir finden nur die beiläufige Bemerkung
(art. 1), dass eine einfache Function durch eine einzige Rechnungsoperation
zu Stande komme; als Beispiele werden dazu:
P, cos ( arc cos P), log P
aufgeführt. Es folgen lange Ketten von Schlüssen und Rechnungen, in
welchen nun freilich mit vieldeutigen Functionen ohne Angabe des jedesmal zu wählenden Wertes, mit Iteration von Operationen zu gebrochenem
oder gar zu irrationalem Index, mit Bestimmung von Functionen aus
Functionalgleichungen, die noch unendlich viele andere Lösungen zulassen,
und ähnlichen Dingen in so scrupelloser Weise manipulirt wird, dass man
schon nach den ersten Sätzen jede Controle darüber verliert, in welcher
Weise man die Voraussetzungen hätte einschränken müssen, wenn die
Schlüsse zulässig sein sollten. Will man daher von dem ganzen Bau überhaupt etwas retten, so wird nichts übrig bleiben, als diejenigen Eigenschaften, welche Ruffini aus seiner unbestimmten Vorstellung von einer
einfachen Function gefolgert zu haben glaubt, mit in die Definition aufzunehmen und zu sagen:
Einfach heisst eine Function im Sinne Ruffini's dann, wenn von
ihren zu demselben Werte des Arguments gehörenden Werten jeder eine
rationale Function irgend eines unter ihnen ist, und wenn ferner alle diese
rationalen Operationen sich durch Iteration einer einzigen unter ihnen darstellen lassen.
Sind dann f, (x), f2 (x), f3 (x), g9 (x, y, z) einfache Functionen, so heissen
f2 (fi (X)), (2 (f (f(x))), ( ( (), 2 (X), f3 (X)) u. s. w. zusammengesetzte
Functionen, und stillschweigend werden nur solche Functionen in Betracht gezogen, welche in dieser Weise aus einfachen sich zusammensetzen
lassen.') Dass durch Functionen dieser Art die Auflösung der algebraischen Gleichungen höherer Grade nicht geleistet werden könne, das ist
der eigentliche Sinn, den man jener paradoxen Behauptung beizulegen hat.
Nun ist aber mit den Mitteln der modernen Functionentheorie sofort zu
1) Die "einfachen" Functionen würden demnach in der Functionentheorie
eine ähnliche Rolle zu spielen haben, wie in der Algebra die Radicale mit Primzahlexponenten. (Von Radicalen mit zusammengesetzten Exponenten sagt Ruffini,
dass sie ebensowol als einfache, wie als zusammengesetzte Functionen betrachtet
werden können.)