Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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so würde man das Ubel des Ruffini'schen Beweises insofern als unheilbar
ansehen müssen, als eine Entwicklung, wie die von Abel durchgeführte,
Ruffini's ganzer Arbeitsweise durchaus ferne liegt. Es ist jedoch von Herrn
C. Jordan') in Verfolgung Galois'scher Ideen für einen allgemeineren
Satz, welcher den vorhin erwähnten als speciellen Fall enthält, ein Beweis
gegeben worden, der solcher arithmetischen Vorbereitungssätze nicht bedarf;
derselbe beruht hauptsächlich auf dem auch Ruffini's Versuchen zu Grunde
liegenden Gedanken, dass mit Adjunction einer irrationalen Function der
Wurzeln auch immer zugleich bestimmte rationale Functionen derselben
adjungirt werden. Es muss demnach möglich sein, indem man diese Entwicklungen in angemessener Weise specialisirt, den Beweis der Unmöglichkeit,algebraischer" Auflösung der höheren Gleichungen von jenen Vorbereitungssätzen und dem zu ihrer Ableitung erforderlichen Formelapparat in
der Weise unabhängig zu machen, dass dieselben erst nachträglich als
Corollare auftreten. Einen so geführten Beweis würde man mit einigem
Recht als ~vervollständigten Ruffini'schen Beweis" ansehen können.
Es folgen bei Ruffini noch einige Bemerkungen von geringerer Bedeutung. In nr. 51 wird erläutert, dass gleichzeitige Adjunction der Wurzeln mehrerer Hilfsgleichungen die Lösung nicht fördert. Nr. 52 wirft
die Frage auf, ob es nicht unabhängig von jeder Methode, vielleicht durch
Zufall, möglich sei, dass ein algebraischer Ausdruck gefunden werden
könne, der in die gegebene Gleichung eingesetzt, dieselbe befriedige; diese
Frage wird dadurch erledigt, dass ausführlich entwickelt wird, wie man in
solchem Fall von dem gefundenen Ausdruck aus rückwärts die successiven
Resolventen bilden könne, sodass man auf die ursprüngliche Fragestellung zurückgeführt werde.2)
1) traite des substitutions et des equations algebriques (Paris 1870), art. 373 ff.
Man vgl. auch die Darstellung bei Hölder, math. Annalen Bd. 34 p. 47 ff. (1889).
2) Derselbe Band der memorie della societa Italiana enthält p. 321-336
noch eine kleine Abhandlung von Ruffini: Riflessioni intorno al metodo proposto dal consocio Malfatti per la soluzione delle equazioni di 50 grado (vom
21. Sept. 1805). In derselben zeigt er, wie ans den von Lagrange entwickelten
Grundsätzen a priori geschlossen werden könne, dass der Grad von Malfatti's
Resolvente gleich 6 sein müsse. Er erörtert ausserdem noch das von Malfatti
gegebene Beispiel, in welchem diese Resolvente eine rationale Wurzel besitzt,
und macht darauf aufmerksam, dass, sobald dies für die entsprechende Resolvente
irgend einer Gleichung fünften Grades zutrifft, diese letztere algebraisch aufgelöst
werden könne. (Dass diese Bedingung nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig ist, hat E. Luther bewiesen: de criteriis quibus cognoscatur an aequatio
quinti gradus irreduetibilis algebraice resolvi possit, Crelle's Journ. Bd. 34, p. 244,
auch Diss. Regiom. 1847.)