Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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in Bezug auf die Auflösung der Gleichungen diejenigen Transfornirten nicht
in Betracht gezogen worden sind, welche irrationale Functionen von x', x",
X"' x1V xV zu Wurzeln haben; aber wenn auch der Grad der Gleichung
in y, falls diese Function irreducibel ist, zu hoch wird, könnte solche Gleichung nicht die mehrerwähnte Form (y + a)P + b == O0 erhalten, oder
einen bestimmbaren Factor haben, aus welchem sich ein zur Lösung von
(F) unmittelbar oder mittelbar geeigneter Wert von y gewinnen liesse?
Wenn man auch bei Bestimmung des Wertes einer Function aus y' auf
eine Gleichung von zu hohem Grad geführt wird, wäre nicht die Möglichkeit vorhanden, dass auch in dieser Gleichung in u ein zur Lösung von
(F) geeigneter Factor sich bestimmen liesse, oder dass sie auf die Form
(u + a)q + b = 0 zurückführbar wäre? Das sind zwei neue Bedenken,
die gelöst werden müssen."
Was nun Ruffini selbst zu diesem Zwecke vorbringt, ist allerdings
wenig geeignet diese Bedenken zu zerstreuen. Er beruft sich dabei auf
eine Reihe früherer Sätze, die zum Teil überhaupt nur für rationale Functionen der Wurzeln der gegebenen Gleichung Geltung besitzen, während
für einen andern Teil wenigstens die von Ruffini gegebenen Beweise nur
für solche Funetionen zwingend sind. Es gilt dies namentlich von denjenigen Sätzen, welche auf den Grad und die Irreducibilität von Resolventen
Bezug haben. Dazu kommt, dass er mit einer Vorstellung,Festhaltung
des Werts und der Combination der Radicale bei Vertauschung der unter
ihnen stehenden x" operirt, die weder von ihm selbst zu einem bestimmten
Begriff praecisirt worden ist, noch einer solchen Praecisirung überhaupt
fähig zu sein scheint. Hier enthalten also Ruffini's Unauflösbarkeitsbeweise
an einer sehr wesentlichen Stelle eine Lücke, auf die in der That auch
schon mehrfach1) hingewiesen worden ist.
Bekanntlich deckt Abel's Unauflösbarkeitsbeweis diese Lücke durch
eine ausführliche rechnerische Deduction des Satzes: "Ist eine Gleichung
durch Wurzelziehen auflösbar, so kann man der Lösung immer eine solche
Form geben, dass alle algebraischen Functionen, aus welchen sie zusammengesetzt ist, sich durch rationale Functionen der Wurzeln der vorgelegten
Gleichung ausdrücken lassen." Man findet wol die Meinung ausgesprochen,
dass eine solche algebraische, oder wenn man will arithmetische Deduction
an dieser Stelle durchaus unentbehrlich sei und durch keinerlei anders
geartete Betrachtung ersetzt werden könne.2) Wäre dem in der That so,
1) Vgl. z. B. Sylow in den Noten zu Abel's oeuvres completes, ed. Sylow
et Lie, Bd. II p. 293, oder die in der Einl. citirte Diss. von Hecker p. 5 u. 26.
2) Vgl. z.B. Netto, Lehrbuch der Substitutionentheorie (Leipzig 1882) ~ 200.