Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Beweis aufwirft und denselben ausführliche Widerlegungen entgegensetzt.
Das erste dieser Bedenken ist (art. 34), ob nicht die vorhin mit F(y)
bezeichnete Function binomisch sein könne, wenn die f (y) es auch nicht
seien. Dass das nicht möglich ist, würde man wol am einfachsten folgendermassen beweisen: Sei g der Grad des einzelnen f (y), h ihre Anzahl, also
gh der Grad von F (y); seien ferner y', y" zwei Wurzeln von f (y) = 0.
Da beide auch Wurzeln der binomischen1) Gleichung F (y) = 0 sein müssen,
so muss:
y" _ ay'
sein, unter a eine (gh)te Einheitswurzel verstanden. Wiederholung derjenigen Vertauschung der Wurzeln x, welche y' in y" überführt, zeigt,
dass auch a2',,3y'... Wurzeln von f (y) = 0 sein müssen. Die Anzahl
y der so erhaltenen verschiedenen Wurzeln aber muss ein Teiler des Grades
g von f (y) sein, also das a schon eine gte Einheitswurzel. Demnach wäre
f (y) selbst gleich yy - C oder gleich einem Produkt solcher Factoren,
was beides den Voraussetzungen widerspricht. - Ruffini macht, sei es
weil er die zu benutzenden Eigenschaften der Einheitswurzeln nicht völlig
beherrschte, sei es aus andern Gründen, diesen Schluss nur für h = 2,
kommt also nur zu der Folgerung, dass h > 2 sein müsse (art. 36). Dann
fährt er folgendermassen fort: Man setze: y -= R, also R +- b = 0; so
wird h =G- ik, wo i die Anzahl der verschiedenen Werte ist, welche R bei
den Vertauschungen der x annimmt, während k für R dieselbe Bedeutung
hat, wie vorher h für y. Wäre nun i = 1 oder 2, so wäre R symmetrisch
oder alternirend, also eine Gleichung y- = R nicht möglich, da g > 2 sein
und y nicht selbst symmetrisch bezw. alternirend sein soll; also muss
i > 2 sein (art. 39). Jetzt sind von der Gleichung Ri - + b = 0 dieselben
Eigenschaften nachgewiesen, welche vorher von ygh -+ b = 0 vorausgesetzt
worden waren; also folgt wie oben h > 2, so jetzt k > 2 (art. 40). Sei
'i =- S, Sk + b - O, k = qr, wo q, r analoge Bedeutung haben wie
vorher i, bezw. k, so wird ganz ebenso bewiesen, dass q > 2, r> 2 sein
muss. So fortfahrend erhielte man eine unendliche Reihe von Gleichungen:
9 -- gh, hi ikc, K=- qr, r = st *.
und jeder der Factoren i, q, s... müsste > 2 sein; das ist nicht möglich,
da p eine endliche Zahl ist (art. 41).
Ruffini fügt noch bei, dass diese Schlüsse auch gelten, wenn man
vorher die alternirenden Functionen adjungirt hat (art. 44) und dass F(y)
1) Ruffini hat hier statt der Voraussetzung F(y) - yg +- b die nur scheinbar allgemeinere F(y) - (y + a)1l + b.