Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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einer Gleichung F(y) = 0, von der allerdings nicht geschlossen werden
könne, dass sie irreducibel sei. Aber die zweite Resolvente sei auch gar
nicht in dieser Weise zu bilden, sondern direkt aus der gegebenen, d. h.
man habe nur alle diejenigen Werte des y in Betracht zu ziehen, welche
aus einem von ihnen durch die sämtlichen Vertauschungen der x hervorgehen. Alle diese genügten einer Gleichung f(y) 0, für deren Irreducibilität derselbe Schluss gelte, wie oben für die der Gleichung in z. Das
Polynom F(y) aber könne dann keine andern rationalen Factoren besitzen,
als f(LY) und diejenigen, welche durch die Vertauschungen der z aus f(y)
hervorgehen, könne also keinenfalls zur Lösung der vorgelegten Gleichung
bessere Dienste als f (y) leisten.1)
Ob Malfatti durch diese Deductionen Ruffini's überzeugt worden war,
ob er, ohne überzeugt zu sein, sich von einer Fortsetzung der Discussion
keinen Erfolg versprach, oder ob nur sein (1807 erfolgter) Tod dazwischen
trat - jedenfalls hat er nicht mehr öffentlich geantwortet.
Soll man über die Discussion zwischen Malfatti und Ruffini ein Urteil
abgeben, so wird man letzterem Recht geben müssen, wenn er erklärt, die
ersten Einwände Malfatti's könnten nur auf Missverständnissen desselben
beruhen; allerdings wird man hinzufügen, dass Ruffini's Darstellungsweise
wenig dazu geeignet ist, Missverständnisse fernzuhalten. Schwerer wiegt -
das räumt Ruffini selbst ein - der Einwand, der die Irreducibilität der
Resolventen betrifft. In der That wirde eine volle Aufhellung der hier
in Betracht kommenden Verhältnisse den Begriff eines bestimmten Rationalitätsbereichs erfordern; dass beide, Malfatti wie Ruffini, von einem
solchen noch weit entfernt sind, braucht kaum gesagt zu werden. Nach
Einführung dieses Begriffs würden übrigens Ruffini's Darlegungen für die
allgemeinen Gleichungen, deren Rationalitätsbereich durch die als unabhängige Veränderliche betrachteten Coefficienten festgelegt ist, ohne Zweifel
Gültigkeit besitzen; und dasselbe würde auch nach Adjunction der Quadratwurzel aus der Discriminante noch der Fall sein. Es hängt übrigens diese
Frage nahe mit der mehrfach erwähnten andern zusammen, ob nicht von
~accessorischen" Irrationalitäten Vorteil für die Auflösung zu erwarten sei;
wir werden auf diese sogleich noch einmal zurückkommen müssen.
Der Zurückweisung von Malfatti's Einwänden hat Ruffini einen zweiten
Teil beigefügt, in welchem er selbst noch einige Bedenken gegen seinen
1) Zu beachten ist, dass hier von der Bildung einer zweiten Resolvente die
Rede ist nicht nachdem eine erste aufgelöst ist, sondern nachdem eine erste sich
als zunächst unzugänglich erwiesen hat. - Ubrigens ist die Quadratwurzel aus
der Discriminante bei diesen Entwickelungen jedenfalls als adjungirt zu betrachten,
wenn Ruffini das auch nicht ausdrücklich sagt.
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