Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Die Wurzel einer solchen Gleichung sucht er1), unter f eine rte Einheitswurzel verstanden, in folgender Form zu erhalten:
X= -- (fm + f'2n + f3 + f + ' ').
Nach einigen vorbereitenden Sätzen über Einheitswurzeln zeigt er, wie man
in der That von dieser Form ausgehend die Lösung der Gleichungen 2.,
3., 4. Grades erhalten kann; und zwar zeigt er das immer durch wirkliche
Ausführung der Rechnung, nicht durch irgendwelche gruppentheoretische
Überlegungen. Auch für Gleichungen fünften Grades unternimmt er die
Rechnung, ist aber wegen des rasch wachsenden Umfangs der Formen genötigt, mit der Erkenntnis abzubrechen, dass mnp q Wurzel einer Resolvente2) sechsten Grades ist (p. 596). Hier findet sich nun als erster
Einwurf: Ruffini behaupte, gestützt auf die Analogie mit der Lösung der
Gleichungen niederer Grade, die Ausdrücke für die Wurzeln der Gleichungen
fünften Grades müssten unter fünften Wurzeln vierte enthalten; solche
Berufung auf Analogie sei nicht zulässig (p. 597). Zweitens sei, selbst
zugegeben, dass solche Wurzeln auftreten missten, daraus doch noch nicht
zu schliessen, dass die betreffenden Functionen gerade von Gleichungen
vierten Grades abhängen müssten. Er bekräftigt diesen Einwand durch das
Beispiel der Gleichung zwölften Grades, deren Wurzel j/3 - 2;/2
ist. Er erklärt nicht einzusehen, weshalb die aufzustellende Resolvente
sechsten Grades, oder irgend welche spätere Resolvente, nicht eine Wurzel
von dieser oder ähnlicher Form sollte besitzen können, da sie ja doch nicht
eine allgemeine Gleichung ihres Grades sei. Der dritte Einwurf Malfatti's endlich besteht in folgendem: Er gibt (p. 599) ein Beispiel einer
Gleichung fünften Grades an, deren Resolvente sechsten Grades eine rationale Wurzel besitzt; er vermisst einen Beweis dafür, dass dies bei der Resolvente sechsten Grades der allgemeinen Gleichung fünften Grades nicht
eintrete; und wenn er das auch für diese zugeben wolle, so trete doch bei
jeder weiterhin zu bildenden Resolvente dieselbe Schwierigkeit von neuem
auf. Die Notwendigkeit, dass dann die Resolvente sechsten Grades drei
gleiche Wurzeln haben müsse, sehe er nicht ein (p. 606).3) Übrigens, so
1) Wie schon Euler, Vandermonde, Waring u. A.
2) Über diese Resolvente von Malfatti vgl. man die Note von Brioschi im
9. Bd. der memorie dell' istituto lombardo, 1863.
3) Diese Einwände sind übrigens bei Malfatti nicht so, wie es im Texte im
Anschluss an Ruffini's Antwort der Übersicht halber geschehen ist, unter Rubriken
praecis formulirt, sondern müssen aus längeren, immer wieder durch Eingehen
auf Malfatti's eigene Versuche unterbrochenen Raisonnements erst herausgeschält
werden.
Abh. zur Gesch. der Mathei. VI. 10