Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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(art. 40; der Beweis wird wieder durch Einzeldiscussion der verschiedenen
möglichen Fälle geführt). Daraus folgt, dass nach Adjunction von y die
Function 11 = z5 noch von einer Gleichung sechsten oder zwölften Grades
abhängen muss, die nach art. 21 nicht binomisch sein kann (art. 41). Es
ist also eine neue Resolventenfunction N zu Hilfe zu nehmen, welche nach
Adjunction von y einer Gleichung:
Nq- +.. = O
genügt (art. 42). Soll dieses N bei einer cyclischen Vertauschung aller
fünf x unverändert bleiben, so folgt wie eben für M, dass q= 1, 6 oder
12 sein muss (art. 43, 1); soll es aber bei jeder solchen seinen Wert
ändern, so folgt, dass q ein Multiplum von 5 sein muss (art. 43, 2). In
beiden Fällen wird man durch dieselben Schlüsse zur Bildung neuer Resolventen gedrängt, von welchen dann wieder dasselbe gilt; und so immer
fort, sodass man nie zum Ziele gelangt (art. 44).
Es folgen noch die Bemerkungen, dass auch die Annahme reducibler
Resolventen zu nichts führe, da für ihre irreducibeln Factoren dieselben
Schlüsse gelten würden; und dass dasselbe der Fall sei, wenn man nicht
mit der Ausziehung einer Quadratwurzel beginnen wollte (art. 46, 1).
Von den fünf Bedenken, zu welchen uns die erste Form von Ruffini's
Beweis Anlass gab, fallen dieser neuen Redaction gegenüber das dritte
und vierte und zum Teil auch das zweite weg - übrigens ein Fortschritt,
der wesentlich auf Rechnung Abbati's zu setzen ist. Das erste können
wir mit Rücksicht auf Gauss' inzwischen erschienene Dissertation ) bei
Seite lassen. Dagegen bleibt das letzte, die,accessorischen" Irrationalitäten
betreffende, seinem ganzen Umfange nach bestehen; wie schon die Art
zeigt, in welcher Ruffini die Worte "einfach" (reducibel) und ~zusammengesetzt" (irreducibel) ohne weitere Determination gebraucht.
Von diesen Einwendungen abgesehen lohnt es sich einen Augenblick
bei einer andern Eigentümlichkeit dieser ersten Beweise Ruffini's zu verweilen. Der Abel'sche2) Unauflösbarkeitsbeweis beginnt mit der Frage,
welches, die Möglichkeit der Auflösung vorausgesetzt, die erste Operation
des Auflösungsprocesses sein müsse (das,innerste Wurzelzeichen", wie man
wol sagt); die Galois'sche Theorie der durch Wurzelzeichen auflösbaren
Gleichungen mit der Frage, welches unter gleicher Voraussetzung die letzte
Operation sein müsse. Ruffini fängt an beiden Enden zugleich an und
sucht abwechselnd das eine und das andere fortzusetzen, um zu zeigen,
1) Dass dieselbe, wie es scheint, Ruffini unbekannt blieb, kann nicht auffallen.
2) Oeuvres d'Abel, ed. Sylow et Lie, t. I p. 31. 84.