Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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so könnte es nur in aZ übergehen, wo a eine fünfte Einheitswurzel bedeutet. Eine cyclische Permutation von drei Buchstaben besitzt aber die
Periode 3; also müsste a3 =1 sein, gegen die Voraussetzung. Da nun
(art. 20) M in jener Gleichung, wenn Z mehr Werte haben soll als 11,
auch nicht fünfwertig sein kann (sonst wäre Z 25-wertig), so folgt, dass
eine solche Gleichung nur bestehen kann, wenn 1i mindestens sechswertig ist.
In ganz ähnlicher Weise werden dann noch die Sätze bewiesen:
Eine Function 1M, welche mit einer andern Z in einer Beziehung der
angegebenen Art steht, kann nicht einer Gleichung der Form LIP + V -0
genügen, wenn V zu einer umfassenderen Gruppe als M1 gehören soll
(art. 21).
Besteht eine Gleichung der Form y5 = Q zwischen zwei Functionen y,
Q der Wurzeln, so müssen die fünf Werte von y, die zu einem Werte von
Q gehören, durch eine cyclische Permutation aller fünf Wurzeln auseinander
hervorgehen (art. 23).
Nach diesen vorbereitenden Sätzen folgt zunächst die Bemerkung, dass
eine Gleichung nur dann unmittelbar algebraisch lösbar sei, wenn sie entweder reducibel oder binomisch ist; andernfalls müsse man zur Resolventenbildung schreiten. Es wird nun darauf aufmerksam gemacht, dass
keine Resolvente einer allgemeinen Gleichung reducibel sein könne (art. 28).
Hierauf folgt der Satz: Soll aus einer Function z sich die Wurzel x einer
allgemeinen Gleichung fünften Grades rational bestimmen lassen, so muss
z bei einer cyclischen Vertauschung aller fünf Wurzeln seinen Wert ändern;
denn sonst würden alle fünf Werte von x in gleicher Weise von z abhängen. Folglich muss der Grad der Gleichung, welcher z genügt'), ein
Vielfaches von 5 sein (art. 32). Da diese Gleichung (nach art. 20) nicht
binomisch sein kann, so muss eine weitere Hilfsgrösse y hinzugezogen
werden (art. 34). Durch deren Hinzunahme wird aber nur dann ein Vorteil erreicht, wenn sie mindestens bei einer cyclischen Vertauschung aller
fünf Wurzeln x unverändert bleibt. Eine Function dieser Eigenschaft kann
(nach art. 21) nur dann einer binomischen Gleichung genügen, wenn sie
zweiwertig ist (art. 36, 2). Angenommen, y sei zweiwertig; dann muss
der Grad der Gleichung für z auch nach Adjunction von y noch ein Vielfaches von 5 sein (art. 37).
Nunmehr wird der Hilfssatz eingeschoben: Wenn eine Function bei
einer cyclischen Vertauschung aller fünf x ihren Wert nicht ändert, so besitzt sie innerhalb der alternirenden Gruppe noch einen, sechs oder zwölf Werte
1) nämlich im Rationalitätsbereich der Coefficienten.