Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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unter sich versetzen, ausser der Identität mindestens noch eine, also entweder eine Transposition oder eine cyclische Permutation von drei Buchstaben. Dass aber eine cyclische Permutation von fünf Buchstaben mit einer
Transposition die symmetrische, mit einer cyclischen Permutation von drei
Buchstaben die alternirende Gruppe erzeugt, hatte bereits Ruffini dargethan.
Auch der Beweis, dass keine achtwertigen Functionen von fünf Grössen
existiren, wird in ähnlicher Weise vereinfacht. Die Verallgemeinerung
Abbati's besteht darin, dass er ausdrücklich zeigt - was Ruffini unterlassen hatte -, dass auch von mehr als fünf Grössen keine drei- oder vierwertigen Functionen existiren. Auch sonst enthält die Arbeit Abbati's noch
manches bemerkenswerte, so z. B. in einer Fussnote zu art. 7 den (soweit
mir bekannt) ersten vollständigen Beweis des Satzes, dass die Anzahl der
formell verschiedenen Werte einer Function von n Grössen stets ein Teiler
von n' sein muss, mit derselben Anordnung der Functionswerte zu
einem rechteckigen Schema, deren man sich jetzt allgemein zu diesem
Beweise bedient. Ferner findet sich auch (art. 35) ausdrücklich der Satz
aufgestellt und bewiesen, dass es keine andern zweiwertigen Functionen
gibt, als diejenigen, welche zur alternirenden Gruppe gehören.
10. Ruffini's Abhandlung von 1802. Dieses Schreiben Abbati's gab
Ruffini Veranlassung, seinen Unauflösbarkeitsbeweis unter Benutzung von
Abbati's Vereinfachungsvorschlägen nochmals in ausführlichster Form zu
publiciren.1) Nach einleitender Zusammenstellung von Sätzen und Definitionen aus seinem ersten Werke beginnt der erste Teil, der von den
Gleichungen fünften Grades handelt, mit der Ableitung einer Reihe von
Untergruppen, welche durch verschiedene Combinationen einfacher Permutationen erzeugt werden; diese Entwickelungen gipfeln (art. 14) in dem
Abbati'schen Beweis für den Hauptsatz von der Nichtexistenz drei- oder
vierwertiger Functionen von fünf Grössen.
Nach diesen gruppentheoretischen Vorbereitungen folgt der algebraische
Teil des Beweises in neuer Fassung. Ruffini beginnt wieder mit dem Satze
(art. 16), dass eine Gleichung der Form:
Z5- M =-0,
unter 3I eine zweiwertige Function der fünf Wurzeln einer allgemeinen
Gleichung fünften Grades verstanden, nur bestehen kann, wenn Z ebenfalls
zweiwertig ist. Denn würde es sich bei einer Operation der alternirenden
Gruppe, z. B. bei einer cyclischen Permutation von drei Buchstaben ändern,
1) della insolubilita delle equazioni algebraiche generali di grado superiore
al quarto; memorie della societa Italiana delle seienze t. 10, p. II (Modena 1803)
p. 410-470; datirt vomr 18. Dec. 1802.