Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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ist, so muss es Werte von E geben, für welche kein T,{ (E) dem TV (E)
gleich ist.1) Ein solches 'i (E) ist dann in der That eine Function der
verlangten Eigenschaft: alle die formell von ihr verschiedenen Functionen,
welche aus ihr durch Permutation der Wurzeln x hervorgehen, haben auch
numerisch von ihr verschiedene Werte; und insbesondere behält sie ihre
Form und ihren Wert nur bei solchen Permutationen der Wurzeln, bei
welchen t, seinen numerischen Wert nicht ändert. Übrigens braucht sie
nicht bei diesen allen ungeändert zu bleiben2); aber dann ist sie (art. 22,
nr. 4, 5) zur Reduction der vorgelegten Gleichung nicht weniger, sondern
nur um so mehr geeignet. - Der Satz von der Existenz einer solchen
Function T leistet Ruffini etwa dieselben Dienste, wie uns jetzt der Satz
~dass jede Gattung Functionen von nicht verschwindender Discriminante
enthält"; er ist aber nicht mit diesem Satze identisch.
Der zweite Teil der Abhandlung (p. 476 ff.) wendet sich nunmehr
der eigentlichen Aufgabe zu. Er beginnt nit dem Beweise, dass die Gruppe3)
einer irreducibeln Gleichung transitiv sein, dass also die nach den vorher
gegebenenen Vorschriften gebildete Function T alle Wurzeln enthalten
müsse (art. 26). Hierauf wird gezeigt, dass die Lösung einer Hilfsgleichung niedrigeren Grades nur dann die gegebene Gleichung zu einer
reducibeln machen kann, wenn die Gruppe der letzteren vorher imprinitiv
war (zusammengesetzt von der zweiten Art nach Ruffini's Terminologie;
art. 29). Bis hieher scheinen seine Schlüsse vollkommen richtig zu sein;
in der That sind sie, so fremdartig ihre Darstellung auch erscheinen mag,
von den jetzt zu gleichem Zwecke angewandten nicht wesentlich verschieden.
Nunmehr aber übersieht er, dass eine selbst nicht imprimitive Gruppe doch
imprimitive ausgezeichnete Untergruppen besitzen kann und gelangt so zu
der folgenden falschen4) Verallgemeinerung des vorigen richtigen Satzes:
gemein auf Grund der Determinantendarstellung des Differenzenprodukts geführt
werden.
1) Die Durchsichtigkeit dieses Beweises leidet bei Ruffini darunter, dass er
(art. 18, 19) noch verschiedene Möglichkeiten bespricht, ohne zu bemerken, dass
dieselben durch die vorher getroffenen Festsetzungen bereits beseitigt sind.
2) Das würde nur der Fall sein, wenn t2, t3... ta bei denselben Permutationen wie t1 ihren Wert nicht änderten; vgl. hiezu H öl d e r, math. Ann. Bd. 34,
p. 40 (1888).
3) Die ~Gruppe der Gleichung" erscheint hier immer als "die Permutation,
bei welcher T seinen Wert nicht ändert".
4) Für Gleichungen, deren Grad keine Primzahlpotenz ist, ist dieser Satz
bekanntlich richtig, aber wol nicht mit so einfachen Mitteln zu beweisen. - Dass
Ruffini nicht daran gedacht hat, seinen Satz an den Gleichungen vierten Grades
einer Prüfung zu unterwerfen, die die Unrichtigkeit desselben sofort ans Licht
gebracht hätte, ist auffallend.