Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Selbstverständlich braucht nicht überall, wo diese Niäherungsgleichung
auftritt, darin das Ergebniss einer unvollständigen Kettenbruchentwickelung
erblickt zu werden, da ja oben die Vernachlässigung der kleinen Grösse x2
auf denselben Werth der Wurzel geführt haben würde.
Mit dieser Formel waren die Alten zweifellos vertraut. Heron von
Alexandria hat nach ihr alle jene Werthe berechnet, welche in Abtheilung I
der von P. Tannery angenommenen ersten Gruppe (Kap. I, ~. 4) enthalten
b
sind. Nur hat er, seiner Gewohnheit gemäss, den Bruch z-, wenn er diese
Eigenschaft nicht schon von Haus aus hatte, auf Stammbrüche zurückgeführt. Wir lassen alle 5 Exempel hier folgen:
=/63 = 182 - 1 8 -16
/1125-= - 332 + 36 (33 + 33 + - +
j1081 = /322 + 57 D (3 + 5G - 3 2 + 4 + 8 -
51/O = /72 + 1 7 +,
-V75 /82+ 11 (8 + =8+1-+ ++ )
~16 2 16
Besonders beachtenswerth dünkt uns der Umstand, dass Heron, wie
aus dem ersten Beispiele wohl mit apodiktischer Gewissheit hervorgeht,
auch das negative b berücksichtigte.
Maximus Planudes (Kap. I, ~. 9) ging, wie wir sahen, stets von der
nämlichen Formel aus, b natürlich nur positiv betrachtend. Aber auch
Frontinus (vgl. den vorigen ~.) dürfte dieselbe aller Wahrscheinlichkeit
nach gekannt haben.
Denn es ist ja
/14 -i 3, o,i / 3
wie wir oben sahenr.
Endlich glauben wir diese Formel auch in jener Stelle der indischen
gulvasütras wiederzufinden, für welche Cantor, wie wir (Kap. I, ~. 14)
sahen, eine wesentlich andere Deutung gegeben hat. Unseres Erachtens
verhält sich die Sache viel einfacher. Wenn wir die halbe Seite des in
einen Kreis zu verwandelnden Quadrates mit a bezeichnen, so ist nach Fig. 7
a + l a (1/ 1)]2. 7t. 4a2