Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

138.
lichen Functionen nicht mehr rational durch t ausdrucken und die weiter
gezogenen Folgerungen werden hinfällig. Ruffini gibt für diesen Fall folgende Regel zur Bildung einer andern Function T, für welche dieser
störende Umstand nicht mehr eintritt:
Es seien tl, 2... t die formell verschiedenen Functionen, welche
aus t durch die sämtlichen Vertauschungen der Wurzeln sich ergeben; von
ihnen sollen t, t2... to, den gleichen numerischen Wert besitzen, dagegen
ta+1, t+2... tp von tq numerisch verschieden sein. Man bildet nun zunächst:
Tl = t, + t2 +* * + - t-i + ta
so werden aus ihm durch die verschiedenen Vertauschungen der Wurzeln x
sich eine Reihe von
Functionen ergeben, nämlich:
T 3, +, 2 + * - 1 +, t.+2,
Tq = t_ a+ + tp-a+ + cc + t
Solange nun ausser den bereits vorausgesetzten Beziehungen zwischen den
x keine weiteren bestehen, wird keine von diesen Functionen den gleichen
Wert wie TI besitzen; in diesem allgemeinen Fall ist also bereits T1 eine
Function der gewünschten Art.
Aber in speciellen Fällen kann eine solche Gleichheit zwischen den T
sehr wol eintreten; alsdann verfährt Ruffini folgendermassen. Er versteht
unter e der Reihe nach die Primzahlen 1, 2, 3, 5, 7... ad inf. und denkt
sich die Functionen gebildet:.T (.) = t, + t + * * + t t +,
(E) t + t+2 + * ++ t + t
rl () = t+p -o +1 t4 Du d J 2 + * t* * 4 + l 7
Würde nun für einen bestimmten Index A die Gleichung:
T1 (E)= Ta (r)
für unendlich viele Werte von s bestehen, so würde daraus folgen, dass
einer der Werte t+1, tt+2.. tp numerisch gleich t, wäre, der Voraussetzung zuwider.') Da nun auch die Anzahl q der Indices g eine endliche
l) Ruffini führt diesen Beweis an einem Beispiel; jetzt kann er leicht all