Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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könne. Er erwidert darauf zweierlei: einmal selbst wenn dies der Fall
sein sollte, würde es doch der Richtigkeit des Satzes von der Unmöglichkeit der allgemeinen algebraischen Auflösung keinen Eintrag thun; dann
aber, keineswegs jede Relation zwischen den Wurzeln führe wirklich eine
Reduction herbei. Ob nicht etwa bei jeder Gleichung mit rationalen Zahlencoefficienten (nur an solche denkt er zunächst) eine zur Reduction dienliche Relation besteht, diese Frage lässt er unerörtert.
8. Ruffini's Abhandlung von 1801. Bald nach dem Erscheinen
der teoria generale delle equazioni veröffentlichte Ruffini in den memorie
della societa italiana delle scienze (t. 9, p. 444-526, Modena 1802; datirt vom 21. Oct. 1801) die Abhandlung: della soluzione delle equazioni algebraiche determinate particolari di grado superiore al
quarto. Gegenstand derselben ist die Untersuchung der Frage, wann die
algebraische Auflösung einer Gleichung geschehen könne durch Lösung von
Gleichungen niedrigerer Grade. Es bleiben also alle diejenigen algebraisch
auflösbaren Gleichungen ausgeschlossen, in deren Lösung ein dem Grade
der Gleichung gleicher Wurzelexponent vorkommt. Dies hat Ruffini damals
ibersehen, sein Versehen aber in einer Anmerkung zu seiner nächsten Abhandlung (t. 10, p. 434) richtig gestellt.
Im ersten Teil der Abhandlung werden zunächst die Gleichungen
(nur von solchen mit rationalen Zahlencoefficienten ist die Rede) eingeteilt
in einfache (d. i. irreducible) und zusammengesetzte (reducible); die letzteren
werden ausgeschlossen. Es folgt dann eine Reihe von Erörterungen iber
die Ableitung einer Function der Wurzeln aus einer andern. Die Übersichtlichkeit derselben leidet sehr darunter, dass Ruffini auch hier zunächst
immer nur die Permutationen der in der Function wirklich auftretenden
Wurzeln in Betracht zieht. Hierauf wendet sich Ruffini zu den Modificationen, welche die allgemeinen Sätze der Gleichungstheorie erleiden, wenn
zwischen den Wurzeln eine bekannte Relation besteht, m. a. W. wenn der
Wert einer bestimmten Function derselben als bekannt angesehen wird;
dabei knüpft er an die oben (nr. 7 a. E.) besprochenen Schlussabschnitte
seiner ~teoria" an, indem er eine Reihe von Fällen aufführt (art. 13ff.),
in welchen die Kenntnis einer solchen Relation nicht zu einer Reduction
der vorgelegten Gleichung führt. Am Schlusse dieses Teils (art. 16 ff.)
wendet sich Ruffini zu einer nicht uninteressanten Untersuchung der folgenden Frage: Es kann vorkommen, dass die bekannte Function t der
Wurzeln bei gewissen Permutationen derselben zwar ihre Form, aber wegen
der speciellen Werte der letzteren nicht auch gleichzeitig ihren numerischen
Wert ändert, dass etwa die formell verschiedenen Functionen t' t"... t
alle den gleichen Wert K besitzen. Alsdann lassen sich die mit t ähn