Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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man diese Grössen auf alle möglichen Arten unter einander vertauscht (art. 275). Ausserdem enthält dieser Abschnitt (art. 273) noch
einen anderen (ebenfalls durch Discussion aller Einzelfalle bewiesenen)
allgemeinen Satz, den man jetzt etwa so aussprechen würde: Enthält eine
Gruppe alle diejenigen Substitutionen, welche durch Transformation vermittelst einer bestimmten cyclischen Permutation von fünf Elementen aus
einer ihrer Substitutionen hervorgehen, so enthält sie auch diese cyclische
Substitution selbst.
Nunmehr geht Ruffini dazu über, die gefundenen gruppentheoretischen
Resultate auf das Problem der Gleichungsauflösung anzuwenden. Er beginnt dabei mit dem Satze (art. 277): Besteht zwischen zwei rationalen
Functionen l1, Z der Wurzeln einer (allgemeinen) Gleichung fünften Grades
eine Relation der Form:
Z - M =- 0,
so müssen alle 120 Werte von Z von einander verschieden sein. Stillschweigend ist dabei vorausgesetzt, dass Z bei irgend einer Vertauschung
Q der Wurzeln sich andern soll, bei welcher 21 ungeändert bleibt. Zum
Beweis dient der letzterwahnte Hilfssatz (von art. 273): Es muss nämlich
Q eine cyclische Vertauschung aller fünf Wurzeln sein. Würde nun Z bei
irgend einer Operation P seinen Wert nicht andern, so würde es ihn auch
nicht ändern bei Q - 1 PQ, also nach jenem Satze auch nicht bei Q selbst,
der Voraussetzung zuwider. Daraus folgt zunächst, dass die Auflösung der
Gleichung nicht mit der Ausziehung einer fünften Wurzel beginnen kann;
sie kann aber auch nicht mit der einer dritten oder vierten Wurzel beginnen, weil keine drei- oder vierwertigen Functionen der Wurzeln existiren;
also müsste der erste Schritt die Ausziehung einer Quadratwurzel sein
(art. 280). Nachdem aber diese vollzogen ist, kann eine fünfte Wurzel
immer noch so wenig wie vorhin ausgezogen werden; ferner keine zweite
oder vierte Wurzel, da keine vier- oder achtwertigen Funetionen der Wurzeln
existiren; endlich auch keine dritte Wurzel; denn es existiren zwar sechswertige Funetionen, dieselben werden aber nicht nach Adjunction der ersten
Quadratwurzel dreiwertig (wie wieder durch Aufzahlung der einzelnen Fälle
gezeigt wird). Da nun andere Wurzelexponenten als 2, 3, 4, 5 nicht in
Betracht kommen können, so ist dargethan, dass man durch Radiciren
niemals zu Functionen der Wurzeln der allgemeinen Gleichung fünften
Grades gelangen kann, welche mehr als zwei Werte besitzen, also auch
nicht zu den Werten dieser Wurzeln selbst. -
Dieser Beweis unterliegt nun allerdings einer Reihe von Bedenken.
Einmal wird fortwahrend mit den Wurzeln der Gleichung operirt, ohne