Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

- 134
wir jetzt von "durch Transformation aus einander hervorgehenden" Gruppen
sprechen. Dieser an und für sich gleichgiltige Umstand ist insofern nicht
ohne Einfluss, als er Ruffini den Weg zum Begriff der ~ausgezeichneten"
Untergruppe versperrt. Übrigens sind seine Definitionen der verschiedenen
erwähnten Arten von Permlitationen zwar an und für sich betrachtet nicht
eben klar; doch geht ihr Sinn aus den folgenden Beispielen und Anwendungen so unzweifelhaft hervor, dass man sicher sein kann, hier nicht
spätere Ideen in ihn hineingedeutet zu haben. (Im folgenden soll im
Allgemeinen die jetzt übliche Terminologie, nicht die Ruffini's
gebraucht werden.)
Die Anzahl der verschiedenen Vertauschungen der Wurzeln, bei welchen
eine gegebene Function derselben ihren Wert nicht ändert, nennt Ruffini
den ~Gleichheitsgrad" (grado di uguaglianza) dieser Function; dieser
Begriff entspricht also unserem "Ordnung der zugehörigen Gruppe".l) Diese
Zahl p bestimmt er nun für sämtliche bei fünf Elementen möglichen Gruppen.
Für eine "einfache Permutation I. Art" ist sie - das zeigt er allgemein
- gleich der Anzahl der durch sie versetzten Elemente; fiir eine "einfache Permutation II. Art" gleich dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen der betreffenden Anzahlen für die einzelnen "Componenten"; für
eine "zusammengesetzte Permutation I. Art" gleich dem Produkt dieser
Anzahlen.2) An "zusammengesetzten Permutationen II. Art" kennt Ruffini
bei fünf Elementen nur eine Art, für welche p = 8 ist; die andere mit
p = 4 (Vierergruppen) scheint er entweder übersehen oder als in der vorigen enthalten nicht besonders behandelt zu haben. Hierauf geht er über
zur Discussion aller derjenigen ~Permutationen III. Art", deren eine Componente eine cyclische Vertauschung aller fünf Grössen ist; er findet, dass
dabei keine andern Werte von p als 10, 20, 60 oder 120 auftreten.3)
Indem er dann noch allgemein den Satz ableitet, dass für eine Gruppe,
welche keine solche cyclische Vertauschung aller fünf Grössen enthalt, p
niemals ein Vielfaches von 5 sein kann, erhält er als Hauptresultat seiner
Untersuchung die Thatsache, dass p niemals gleich 15, 30 oder 40 wird,
m. a. W. dass es keine Functionen von fünf Grössen gibt, welche
gerade acht, vier oder drei verschiedene Werte annehmen, wenn
1) Dass diese Zahl stets ein Teiler von m' ist, behauptet Ruffini nach Lagrange, ohne es zu beweisen.
2) Die Componenten werden hier stillschweigend als "einfach" vorausgesetzt,
was für m - 5, von einem trivialen Falle abgesehen, in der That gestattet ist.
3) Hier ist die Aufzählung aller möglichen Fälle insofern nicht vollständig,
als die aus (12345) und (132) entstehende Gruppe fehlt; doch hat dieses Versehen
auf das Resultat keinen Einfluss.