Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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an sie anschliessenden Schriften besprochen werden; sie verdienen in der
That sämtlich Berücksichtigung, wenn man von lRuffini's Leistungen auf
diesem Gebiete ein Bild gewinnen will.
7. Ruffini's Lehrbuch von 1799. Ruffini's erste Veröffentlichung
auf algebraischem Gebiete ist ein zweibändiges Lehrbuch der Algebra, das
unter dem Titel:
Teoria generale delle Equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di
grade superiore al quarto
1799 zu Bologna erschienen ist. Nach Ableitung der allgemeinen Eigenschaften der algebraischen Gleichungen und Discussion der Auflösung der
Gleichungen zweiten, dritten, vierten Grades beginnt Ruffini seinen Unauflösbarkeitsbeweis im 13. Cap. dieses Werkes mit einer Classification der
verschiedenen ~Permutationen." Zum Verständnis dieser Classification
ist vorab zu bemerken, dass er die sämtlichen Vertauschungen der Wurzeln,
bei welchen eine Function derselben ihren Wert nicht ändert, als eine
einzige Permutation bezeichnet; er versteht also unter einer "Permutation"
dasselbe, was man seit Cauchy als ein "System conjugirter Substitutionen"
und seit Galois als eine ~Substitutionsgruppe" zu benennen pflegt. Charakterisirt ist eine solche Gruppe bekanntlich dadurch, dass jede Operation
zu ihr gehört, welche darin besteht, dass man zwei ihrer Operationen nach
einander vornimmt; dass diese Eigenschaft seinen "Permutationen" zukommt,l) ist Ruffini sehr wol bekannt und vielfach von ihm benutzt.
Als "einfache Permutationen" bezeichnet er Gruppen, welche (nach
jetziger Ausdrucksweise) aus den Potenzen einer einzigen Substitution bestehen; er unterscheidet deren zwei Arten, je nachdem letztere einen oder
mehrere Cykeln enthält. Die übrigen Gruppen nennt er "zusammengesetzte Permutationen", und zwar der ersten, zweiten oder dritten Art,
je nachdem sie intransitiv, transitiv und imprimitiv oder transitiv
und primitiv sind. Bei Bestimmung der Transitivität berücksichtigt er
übrigens nur diejenigen Wurzeln, welche in der gerade zu untersuchenden
Function wirklich auftreten: eine unzweckmässige Festsetzung, welche ihn
öfters zu weitschweifigen Fallunterscheidungen nötigt. Auch noch in einem
andern Punkte weicht seine Ausdrucksweise von der jetzt üblichen ab:
wo von den verschiedenen Werten derselben Function die Rede ist, sagt
er stets: alle diese bleiben bei derselben Permutation ungeändert - während
1) Der Fall, dass zwischen ~formell" verschiedenen Functionswerten ~numerische" Gleichheit bestehen kann, wird an dieser Stelle von Ruffini noch nicht
berücksichtigt; vgl. aber p. 138.