Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Auffassung vorziehen; verlangt man aber die Zusammensetzung der Wurzel
aus a - b und ab, so wird diese Wurzel notwendig zweiwertig sein müssen;
denn... die beiden Bedingungen:
a funct. [(a +- b), ab]
und: b =funct. [(a + b), abl
können nur zusammen bestehen, wenn die Function eine zweideutige ist.
Eine solche Function ist z. B.:
- (a + b + }/(a + b)2 -4ab).*.
Analog wird weiterhin für die Wurzel der cubischen Gleichung, unter
r', r" die beiden complexen dritten Einheitswurzeln verstanden, der Ausdruck aufgestellt:
(a + b + c + (a + r'b + r")3 + (a + r - +r' c))
und es wird dann gezeigt, dass sich (a + r b + r"c)' und (a + r"b + r'c)'
rational durch a + b -+ c, ab + ac + bc und abc ausdrücken lassen, bis
auf ein Glied:
+ (a2b + b2c + c2a - ab - b c2 - ca2),
dessen Quadrat erst diese Eigenschaft hat.l)
Durch solche Überlegungen gelangt Vandermonde dazu, das allgemeine
Problem der Gleichungsauflösung in folgender Weise zu formuliren:
erstens sei eine Function der Wurzeln zu finden, von der man sagen
könne, dass sie jeder beliebigen der Wurzeln in einem gewissen Sinne
gleich ist;
zweitens sei diese Function auf eine solche Form zu bringen, dass es
gleichgiltig ist, wie man die Wurzeln unter einander vertauscht;
drittens seien in dieselbe die Summe der Wurzeln, die Summe ihrer
Produkte zu je zweien u. s. w. einzuführen.
Vandermonde beginnt mit dem dritten Teil dieses Programms, indem
er die erforderlichen Formeln ableitet, welche der Theorie der symmetrischen
Functionen angehören. Dann schaltet er eine Theorie der Einheitswurzeln
ein; dieselbe enthält bereits (art. 6) ohne Beweis die Behauptung, die
Gleichung mten Grades, von welcher die Bestimmung der (2 mn + 1)ten Einheitswurzeln abhängt, sei "immer leicht zu lösen".2)
1) Man sieht, dass Vandermonde unter einer "synthetischen" -Methode eine
solche versteht, welche von einer vorausgesetzten Form der Wurzeln ausgeht und
die Gleichungen aufsucht, welchen Wurzeln von dieser Form Genüge leisten.
2) Die expliciten Ausdrücke der elften Einheitswurzeln sind art. 35 mitgeteilt, ohne Angabe ihrer Ableitung.
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