Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

- 126
auf der Benutzung von Hilfsgleichungen beruhen, deren Wurzeln dreiwertige Functionen der Wurzeln der vorgelegten Gleichung sind, wie z. B.
x x + XI (X' + x - - x)2
(x' + x - l- -x" - x 1 1/ ) (x - x" -1 + x"'- x_ T 1/ ).
Von einer etwas weniger übersichtlichen Function dieser Art wird diese
Eigenschaft (die Dreiwertigkeit) folgendermassen bewiesen (art. 43): Sie
bleibt unverändert, wenn x' mit x" vertauscht wird, also hat sie nicht 24
verschiedene Werte, sondern höchstens 12. Sie bleibt auch unverändert,
wenn x'" mit xIt vertauscht wird, also reduciren sich die 12 Werte auf 6.
Sie bleibt endlich auch unverändert, wenn x' mit x' und gleichzeitig x"
mit xr7 vertauscht wird, also reduciren sich die 6 Werte auf 3,da auch
diese Vertauschung von den vorigen unabhängig ist." Ausserdem bleibt
sie noch unverändert bei gleichzeitiger Vertauschung von x' mit xlv und
von x" mit x"'; "aber diese", heisst es weiter, "kann nicht in Betracht
kommen, da sie in den vorigen schon inbegriffen ist."
Der dritte Abschnitt wendet sich zu analogen Untersuchungen für
Gleichungen höherer Grade. Gerade von diesem Abschnitt gibt Serret
Gedankengang und Resultate ziemlich vollständig wieder; jedoch ist wol
zu beachten, dass er die Form der Darstellung insofern wesentlich modernisirt hat, als er sich symbolischer Bezeichnung der Substitutionen bedient,
überhaupt sich auf eine vorhergehende systematische Behandlung der Substitutionentheorie stützt, von welcher Lagrange noch weit entfernt ist. Der
Abschnitt schliesst mit einigen Auseinandersetzungen darüber, ob Aussicht
vorhanden sei, auf dem eingeschlagenen Wege zu Hülfsgleichungen von
niedrigerem Grade als die bis dahin erhaltenen zu gelangen. Lagrange
glaubt schon bei Gleichungen sechsten Grades auf diese Hoffnung verzichten zu müssen, indem er bemerkt, dass es nicht gelinge; die 10 Werte
des Ausdrucks:
(X1 + X2 + XS - x - x - 6)2
so in zwei Reihen zu je fünfen zu spalten, dass das Produkt aus den
Summen der fünf Werte jeder Reihe symmetrisch werde (art. 85).
Der vierte Abschnitt bringt die nachträgliche Begründung der im
vorhergehenden bereits überall benutzten Sätze über den Grad von Resolventen. Ein eigentümliches Eliminationsverfahren, an den einfachsten Beispielen in inductiver Weise auseinandergesetzt, führt zur Erkenntnis des
fundamentalen Satzes, dass der Grad einer Resolvente übereinstimmt mit
der Anzahl m der verschiedenen Werte, welche ihre Wurzel bei sämtlichen
Vertauschungen der Wurzeln der vorgelegten Gleichung annimmt; der Satz,