Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Hilfsgleichung richtig angibt, deren Auflösung erforderlich sein würde,
um aus der durch jene Transformation gelieferten Resolvente die mittleren
Glieder wegzuschaffen; ) den Namen Tschirnhaus nennt er übrigens erst
in der Vorrede zur Auflage von 1782, p. X. XXV.
Als Beispiele für seine allgemeinen Auseinandersetzungen dienen Waring hauptsächlich die verschiedenen bekannten Methoden zur Auflösung
der Gleichungen 4. Grades; er zeigt u. a.,2) wie die Wurzeln der durch
dieselben gelieferten cubischen Resolventen sich als dreiwertige Functionen:
X1 2 + X, (x + x2 -, x4) 2 (x1 2 - x3 4)2
der Wurzeln xl,, x2, x3 der vorgelegten Gleichung ausdrücken. Auch
stellt er sich die Aufgabe, specielle Gleichungen zu finden, deren Auflösung in vorgegebener Weise möglich ist; unter anderem Gleichungen men
Grades, deren Wurzeln die (damals mehrfach behandelte) Form haben:
x =<ti + v~2 + * * + n 1i.
Dass übrigens schon bei den allgemeinen Gleichungen fünften Grades die
Bestimmung der a von Gleichungen höheren Grades als die vorgelegte abhängt, ergab sich ihm3) aus seinen combinatorischen Principien ohne
Schwierigkeit.
1) ein specieller Fall misc. anal. p. 39; der allgemeine nzed. alg. p. 101.
2) med. alg. p. 94.
3) med. alg. p. 120.
Obwol dem Gegenstand vorliegender Untersuchung fremd, seien noch eine
Reihe bemerkenswerter Dinge erwähnt, von welchen wenig bekannt zu sein scheint,
dass sie sich bei Waring finden. Die Vorreden beider Werke enthalten eine in
jeder folgenden Auflage vollständigere Sammlung von Notizen über die frühere
Geschichte der Algebra, die namentlich über das 17. Jahrhundert und die erste
Hälfte des 18. einen ganz guten Überblick gewährt. An der Spitze des Textes
stehen in beiden Werken die Formeln zur Berechnung der Wurzelsummen aus
den Coefficienten; Erwähnung verdient dabei vielleicht der Terminus "exponentes
litterarum" für das, was man jetzt: Gewichte der Coefficienten zu nennen pflegt.
Daran schliesst sich die Berechnung der übrigen symmetrischen Functionen aus
den Wurzelsummen; die unter Waring's Namen bekannte Methode zur Berechnung der symmetrischen Functionen direct aus den Coefficienten findet sich nur
in dem späteren Werke (p. 11). Die misc. anal. enthalten auch (p. 16) die Methode zur angenäherten Berechnung der Wurzeln (unter Voraussetzung ihrer
Realität), welche sonst wol unter dem Namen von Graeffe geht. Einen grossen
Teil beider Werke füllen Untersuchungen über rationale Wurzeln von bestimmten
sowol, als von unbestimmten Gleichungssystemen; im 5. Cap. der med. algebr.
dehnen sich dieselben zu einer förmlichen Sammlung zahlentheoretischer Sätze
aus (dort ist auch der,Wilson'sche" Satz nach einer Mitteilung Wilson's an
Waring zuerst veröffentlicht (p. 218, vgl. auch p. VIII)). Für Waring - wie