Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

40
welche im Allgemeinen nur irrationale Werthe ergiebt. Die späteren Mathematiker, deren Schriften auf uns gekommen sind, haben auch die Eigenthümnlichkeit des Irrationalen richtig erkannt und für die irrationale Quadratwurzel in dem Worte karana sogar eine eigene Bezeichnung geschaffen 145).
Schon Aryabhatta muss die Auflösung einer unreinen quadratischen Gleichung
gekannt haben; Brahmagupta, (ridhara und Bhäshara Acharya tragen diese
Auflösung mit Variationen vor, und der letztere kennt sogar 146) die
Doppeldeutigkeit und allfallsige Irrealität der Quadratwurzel, sowie die in
der Formel
Va + J/a -b 1V/u - 1/a2 - b
ai + 4b | + - + VlV --- --
ausgesprochene sogenannte Transformation des surdischen Binomes. -Nur
nebenher sei erwähnt, dass die Inder auch zur Auflösung der uns aus ~. 6
erinnerlichen unbestimmten Gleichung ax2 + 1 = b2 in ihrer,,Zerstäubungsregel" eine Methode besassen, welche sich nach Hankel's Untersuchung'en
völlig mit jener deckt, die später Lagrange auf seine berühmte Kettenbruchentwickelung von l/a begründete 147).*) Die theoretische Wurzellehre
war sonach bei den Mathematikern Hindostans völlig entwickelt, allein,
was gerade uns hier am Meisten interessiren würde, die praktische Näherungsberechnung der karana's tritt in den Lehrbüchern weniger deutlich
hervor. Zum Glücke hat uns ein gütiges Geschick neuerdings auch mit
diesem Theile indischer Mathematik Bekanntschaft schliessen lassen.
~. 14. Die Näheruingsformeln der Qulvasittra's. Ein in Indien lebender deutscher Gelehrter, Thibaut in Benares, hat die sogenannten 9ulvasütra's herausgegeben 148), welche sich mit der Anwendung der Geometrie
auf die rituellen Verrichtungen des Gottesdienstes beschäftigen, und Cantor
hat zuerst 149) auf die hohe geschichtliche Wichtigkeit dieser Publikation
hingewiesen.**) In diesen Schriften kehrt nun häufig die an das delische
Problem erinnernde, beim Altarbau unentbehrliche, Aufgabe wieder, ein
Quadrat mit einer ganzen Zahl n so zu multipliciren, dass die entstehende
Figur abermals ein Quadrat werde. Arithmetisch aufgefasst, muss diess
zur Berechnung von j/n führen, und in der That treten uns denn auch
*) Eine Kettenbruchmethode im eigentlichen Sinne ist jedoch dieses ~cyklische"
Verfahren schon deshalb nicht, weil auch Lagrange dasselbe erst in seiner zweiten
dem Gegenstande gewidmeten Abhandlung mit einem Kettenbruch- Algorithmus
in Beziehung setzte.
**) Eine Uebersicht über das von Thibaut neu erschlossene Material und die
von Cantor daraus gezogenen Folgerungen ist, verbunden mit einigen anderen
Betrachtungen vergleichender Natur, auch in einem Aufsatze 150) des Verf. zu
finden.