Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Talmud lautet eine Stelle nach Zuckermann's Verdeutschung in der That
folgendermassen 139): ~Jedes Quadrat, dessen Seite eine Elle lang ist, hat
eine Diagonale von 12/. Ellen Länge." An dieser Ueberlieferung haben die
mittelalterlichen Juden offenbar sehr zähe festgehalten, denn, wie wir in
Ergänzung der Zuckermann'schen Nachweise noch berichten können, wird
noch im späteren Mittelalter, wie Zunz meldet 140), der Wissensstand eines
Mathematikers an diesem Satze gemessen:,,Rabbi Simon in Sens war
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nicht weiter gekommen, als zu wissen, dass die Diagonale grösser als -
der Seite sein müsse." Ein dritter Näherungswerth für 1/2 ist -; er kommt
in dem sehr alten ~Seder Tohorot" vor und verdankt seine Entstehung
vielleicht blos roher Empirie, nicht mathematischer Ueberlegung, so dass
wir ihn auch blos zur Vollständigkeit als geschichtliches Curiosum aufführen. Alles, was die Rabbinen von 1/2 wussten, fasst Zuckermann in
einem Schlusssatz zusammen, der auch diesen Paragraph beendigen soll. Er
sagt 141): "Der älteste in der Mischna vorkommende Werth der Quadratwurzel aus Zwei ist der aus Mischna Oholot hergeleitete = 1,33... Der
späteren Mischna Erubin war der genauere Werth = 1,4133... bekannt.
Schon die Mischna kannte die Irrationalität einer gewissen Quadratwurzel.
Dem noch späteren Talmud genügte für die Praxis der Werth 1,4. Von
dem genaueren Werthe der 1/2 = 1,41421. weichen die drei genannten
Werthe resp. um 0,08088..., 0,00088..., 0,01421... ab."
~. 13. Die quadratischen Irrationalitäten bei den Indern. Dem HinduMathematiker lagen die Skrupel ferne, welche dem Griechen so lange Zeit
hindurch den bequemen Zugang zum Irrationalen versperrten; für ihn war
Alles, was existirte, von Haus aus mit dem Zahlbegriffe behaftet, und diesem
wurden denn auch ohne Weiteres die neuen Formen untergeordnet, auf
welche man sich bei der Umkehrung der Operation des Potenzirens geführt
sah. Wie früh man sich mit den Wurzeln vertraut machte, geht u. a.
schon aus der Thatsache hervor, dass man bereits vor Aryabhatta, der
davon wie von einer altbekannten Sache spricht, das Verhältniss der Kreisperipherie zum Durchmesser mit 1/10 identificirte - eine Zahl, deren Entstehung Cantor 142) noch für räthselhaft erklärt, für welche jedoch unseres Erachtens Rodet 143) eine ganz annehmbare Erklärung gegeben hat
(vgl. Kap. II). Die indische Trigonometrie, die ersichtlich auch auf ein
ziemlich hohes Alter Anspruch machen kann, bediente sich hauptsächlich der
Formel 144)
sin 2 == 1719 (3438 -cosa),
s -