Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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worden sind. Und diese Methode kennen wir ganz aussergewöhnlich genau
aus einer späteren griechischen Schrift. Ein im vierten Jahrhundert n. Chr.
lebender Astronom, Namens Theon, hat in seinem Commentar zum Almagest
das Verfahren, dessen man sich beim sechzigtheiligen Calcul zur Ausziehung
von Quadratwurzeln zu bedienen pflegte, weitläufig auseinandergesetzt, und
prüft man die ptolemaeischen Zahlen auf dieses Verfahren, so stimmt das
Ergebniss der Art, dass es keinem Zweifel unterliegen kann, Ptolemlaeus
habe wirklich in dieser Art und Weise seine Berechnungen angestellt. Ehe
wir jedoch zu diesem Commentator Theon uns wenden können, haben wir
zuvor noch eines anderen gleichnamigen Mathematikers zu gedenken, der
uns über die Quadratwurzeln bei den Alten ebenfalls Eröffnungen macht,
und zwar solche, die kaum minder wichtig für den Geschichtschreiber der
exakten Wissenschaften sind, als jene seines Namensvetters.
~. 6. Theon von Snyr'na. Um 130 n. Chr. lebend - die Zeit lässt
sich durch von ihm angestellte Himmelsbeobachtungen ziemlich genau festlegen -, hat Theon Smyrnaeus sich die Aufgabe gestellt, in einem besonderen Werke alle mathematischen Vorkenntnisse zu vereinigen, deren
man zur Lektüre der platonischen Schriften bedarf. Dieses Werk, von dem
früher nur die einzelnen Theile besonders herausgegeben worden waren,
hat neuerdings eine Gesammtausgabe erfahren 86). Es besteht aus einer
Arithmetik mit musikalischem Anhang und aus einer Astronomie. Im erstgenannten Theile findet sich 87) die Stelle, an welche wir anzuknüpfen
haben; ihre Bedeutung speziell für die Lehre vom Irrationalen scheint zuerst von Unger 88) erkannt worden zu sein, allein diese gelegentliche
Wahrnehmung war wieder ganz verschollen, und Cantor gebührt das Verdienst, von Neuem an die Bedeutung der Stelle erinnert zu haben 89).
Theon construirt am angeführten Orte gewisse Zahlen, welche er nach
griechischer Sitte als,Seitenzahlen" (lvevQdli) und "Diametralzahlen" (dagEvQoL) kennzeichnet. Er geht aus von zwei Einheiten und bildet resp.
1.1 +1 =- 2, 2.1+1 - 3
als erste Seiten- und Diametralzahl. Damit ist das Bildungsgesetz dieser
Zahlen angedeutet; versteht man unter an und dn bezüglich die nte Seitenund Diametralzahl, so ist
an + I = an + in i = 2 an + dn,
so dass nithin a1 -= = 1, = 1, a2 - 2, d = 3, a =5, d3 == 7, a4 = 12,
d4 = 17, a5 = 29, ds = 41 u. s. w. wird. Alsdann gilt der Lehrsatz
dn2 = 2 an + 1,
den Theon ausdrücklich aufstellt, allerdings ohne ihn mit einem Beweise
zu versehen. Indess ist dieser letztere so ungemein einfach, dass man wohl