Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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5. Eine gerade Linie nach stetiger Proportion zu theilen.
6. Es sind ein Kreis und ein Punkt gegeben. Man soll über diesen
Punkt eine Secante von gegebener Länge ziehen. Die beiden Fälle,
der Punkt ist innerhalb oder ausserhalb des Kreises, sind beide erläutert.
7. Gegeben ein Halbkreis mit seinem Diameter und eine auf den Halbmesser errichtete Senkrechte. Es soll vom Endpunkte dieser Senkrechten eine gerade Linie derart gezogen werden, dass der Abstand
von der Peripherie des Kreises einer gegebenen Geraden gleich sei.
- Es sind 6 Fälle möglich, welche alle erläutert werden. Wie
jedesmal, so wird auch hier stets angegeben, unter welchen Umständen die Aufgabe unbestimmt bleibt.
Marini Ghetaldi de Resolutione et Compositione mathematica.
Liber Quartus.
Enthält die Fortsetzung der quadratischen Gleichungen, von welchen
die schwierigeren Fälle behandelt werden. Die Lehrsätze, welche den Construktionsaufgaben vorangehen, sind folgende:
Theoremn 1. Hat ein inneres oder ein äusseres Glied einer Proportion
einen grösseren Werth als die anderen Glieder, so ist das zweite innere
oder äussere Glied kleiner als alle anderen Glieder. Der Beweis wird einfach auf folgende Art geführt: Hat man a: b = c: d und ist a das grösste
Glied, so ist offenbar auch a > b und damit die Proportion bestehe, auch
c > d. Nun ist aber auch a > c, daher auch b > cd, folglich d < b und
d < c oder d das kleinste Glied.
Theorem 2. Ist die Summe der äusseren Glieder eines Verhältnisses
grösser als die Summe der inneren Glieder, oder die Differenz der ersteren
grösser als die Differenz der letzteren, so sind die äusseren Glieder das
eine das grösste, das andere das kleinste Glied der Proportion. Dasselbe
gilt natürlich auch bezüglich der inneren Glieder, wenn ihre Summe oder
Differenz grösser ist als jene der äusseren Glieder.
Theorem 3. Ist die Summe oder Differenz der inneren Glieder gleich
der Summe oder der Differenz der äusseren Glieder, so ist das grössere
äussere dem grösseren inneren, das kleinere äussere dem kleineren inneren
Glied gleich.
Die gelösten Aufgaben sind nun folgende:
1) Der Beweis wird nicht geführt, da dieser Lehrsatz in Enclides bewiesen
wird (,hoc manifestum est ex propos. 36 et 35 tertis elementorum").