Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Lehrsatz,I
Theilt man eine gerade Linie in zwei beliebige Theile, so ist das
Rechteck, welches aus der Summe und der Differenz der beiden Abschnitte
construirt wird, gleich der Differenz der über beide Theile construirten
Quadrate.
Folgt nun der Beweis, welcher wie folgt geführt ist. Theilt man
die gegebene Grade AB in zwei beliebige Theile A C, CB und verlängert
man die AB bis D, so dass CD = AC sei. Ich behaupte, dass das
Rechteck aus AB und BD gleich der Differenz der Quadrate über A C
und CB ist. Beschreibt man über CD das Quadrat CH und führt man
die Diagonale DE, so schneidet diese die parallel mit CE gezogene BG
im Punkt F. Durch F ziehe man die KFL 11 AB. Ebenso construire
man AL II DK. Das Rechteck AJ ist gleich dem Rechteck BH, denn es
ist A C D H und CJ = B D. Addirt man zu den Rechtecken AJ, B 1H
das gemeinsame Rechteck BJ,
(E } _ ------ H so ergibt sich, dass das Recht/L.\ eck A.F gleich der Summe der.. _._.. Rechtecke CF1 und BH ist, da~\ her AF gleich dem Gnomon
JFGHD CJ. Aber das Gnomon
'\ gibt nichts anderes als die DiffeI _ ___ _ _ __I\ renz der Quadrate CH und JG.
A C B D
XJ C B~ s Das Rechteck AF ist also nichts
anderes als die Differenz der Quadrate CH und JG, was zu beweisen war.
Dieser Lehrsatz kann auch folgendermassen aufgestellt werden:
(a + b) (a -b) + b2 == a2
welche Beziehung im fünften und sechsten Lehrsatz des II. Buches der
Euklidischen Elemente enthalten ist.
* *
Die übrigen zehn Lehrsätze, welche jedesmal zuerst algebraisch ermittelt, dann geometrisch nachgewiesen werden, sind in der algebraischen
Form folgende:
( (a- b) = a2 + b' - 2 ab. Propositio II.
(a + b)2- (a- b)2=4a. III.
y (a + b)2 + (a- b)2= 2a2 + 2'b2. IV.
d Sind a, b, d die Seiten eines stumpfwinkligen
Dreiecks, so hat man, wenn g 1_ d ist:
as = b'2 + d2 + 2ed. Propositio V.