Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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An Stelle des Zeichens - wäre eigentlich > zu setzen, wie es ja auch
sein muss, weil es zunächst auf die Angabe einer oberen Grenze für sec 87~
ankommt. Zur Bestimmung von DE: FE dient dagegen, ganz wie bei
Archimedes (~. 2) das Theorem, dass, wenn in einem Dreieck ein Winkel
halbirt wird, die auf der Gegenseite entstehenden Abschnitte sich wie die
anstossenden Seiten verhalten. Man hat nämlich
DE F_ E+ DF DF CD
JE - EZ l + FE = l + CE
2 -2
oder, da CD = 2 CCE ist,
D E
DBE 1 +.
Der praktische Astronom sieht sich nun in die Nothwendigkeit versetzt, mit dieser Irrationalzahl zu rechnen, und setzt demzufolge
DE ( 7 36)
FE + 5 15)
Durch Zusammensetzen der beiden Verhältnisse ergiebt sich
HIC 15 36 36
GE> ' 2*r- 2 -- 1 8,
GE \2 15 2
und sec 87~ > 18. Da Aristarch ferner durch ein noch ungleich einfacheres
Verfahren sec 870 < 20 ermittelt hat, so kann er mit völlig genügender
Genauigkeit sec 87~ - 19 und die Entfernung der Erde von der Sonne
gleich dem Neunzehnfachen der Entfernung der Erde vom BMonde annehmen.
Wir haben in ~. 1 gesehen, dass möglicherweise schon Platon eine
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Ahnung davon besass, der unechte Bruch - lasse sich ohne erheblichen
Fehler der Irrationalzahl /-2 substituiren. Nunmehr erhalten wir die volle
Gewissheit, dass ziemlich zu derselben Zeit, in welcher Archimedes 1/3 in
rationale Grenzen einzuschliessen lehrte, ein anderer griechischer Mathematiker
einen ähnlichen Fortschritt betreffs 1/2 vollzog und auf seine Wahrnehmung
eine äusserst elegante Construktion begründete, an welcher nur lebhaft zu
bedauern ist, dass sie, auf unrichtiger thatsächlicher Basis beruhend, der
astronomischen Wissenschaft selbst keinen eigentlichen Vortheil bringen konnte.
~. 4. IHeron Alexandrinus. Ganz ebenso wie Archimed füir eine geometrische, Aristarch für eine astronomische Frage bedurfte Heron als Geodät
bei den verschiedensten Gelegenheiten quadratischer Irrationalitäten; wir
wollen dabei gleich erklären, dass wir im Anschluss an die für diesen Autor
maassgebenden Forschungen Cantor's alle die verschiedenen Mathematiker,
deren unter diesem Namen Erwähnung geschieht, in der Person des älteren
Heron (ur 100 v. Chr.) vereinigt annehmen 35). Obwohl auch er dem
geometrischen Geiste seines Volkes, welches bei der Lösung einer Aufgabe