Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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erit quain dupla. Impossibile enim erit prioribus IIII ita se ad inuicem
habentibus posteriores et consequentes proportiones alterutrum non conseruare uidelicet ut linea V sesquisexta sit ad IIII. VI ad V sesquiam
septima VII ad VIII sesquioctaua ad VIII ad IX sesquinona? Tamen
amplius conficitur quam proportio dupla. Quod ut liquido patefiat numero
ad demonstrationem utamur. Sit itaque III quod III habetur quasi prima
linea tum quarta velut II tum V loco tertie postremo VI pro linea VIII.
Dico si illud confirmatum fuerit octauam quod non opportet ultra duplum
maiorem esse secunde. Que autem erit secunda? Quatuor. Que octaua?
X. Nam X a tribus VII distat loco.1) At uero X ad quatuor relati amplius
quam duplum reddunt quantum est ipsius quaternarii pars dimidia. Non
igitur prime linee pars tercia sumenda est nec prorsus inter ipsam et IIII
tales sunt proportiones requirende quales inter III et VI. duplam faciunt
comparationem. Quid igitur? ubi deinceps in omni genere superparticulari
alias inuenies quamquam sole ad duplum aspirent. Id prorsus fieri non
potest. Itaque sicut multiplices et ceterorum ita et uista*) inequalitatis
proportio ab hac quam tractamus diuisione separanda est. Restat ergo aut
in superpareiens genus incidere aut minime iuxta proporcionum procedere
rationem. Sed cunctis et superpartientibus pretentatis nusquam tales reperimus qui continuati huic apti sint diuisioni.2) Neque enim secunda linea
duas tertias I aut III. quartas aut IIII. V. aut V. VI aut deinceps plures
iuxta proprietatem partientis accipiet partes. Que et ipsum ab hac diuisione
excludendum. Quid igitur agendum? Num quid credendum cunctis his
reinotis generibus rem ullam comparari? Sed forte erit cui hec comparatio
per adiectionem et diminutionem fieri uideatur hoc modo. Constituta linea
seilicet I. si ablata VI eius deinde ipsa per medium diuidatur adiectaque
1) Die Superparticule bedeuten offenbar das Vielfache vorher bereits gegebener Theile. Denkt man sich zwischen die Quadrate vom Flächeninhalt 1
und 4 oder den Seiten 1 und 2 noch die vom Inhalt 2 und 3 in gleichen Intervallen eingeschoben, so ist die Länge der jetzt 4. doppelt so gross, als die der
ersten. Betrachtet man nun die dritte dieser 4 Linien
als das erste, also die dreifache Länge der früheren
Einheit als solche, so muss man, damit das obige Ge_ --- —/ setz gilt, mit der letzteren Einheit messen, während
x/ die Beibehaltung der früheren naturgemiss falsche
Resultate ergibt, wie es der Text deduzirt.
c 34 * ) 1 ista.
/ 2) Die Superpartientes sind Theile der früheren.
_____Das Resultat ist somit dasselbe wie im vorherigen
Falle d. h. es ist möglich, dass die einzelnen Quadratseiten ihr natürliches Verhältniss 1:2:3:4 etc. behalten, wenn man die Masseinheit ändert, ohne zugleich danach die Linien zu bezeichnen.