Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Arithmetik als vielmehr Logistik (Rechenkunst) treiben und arithmetische
Anwendungen auf Geometrie, Geodäsie, Astronomie oder Mechanik machen
wollten, mussten darauf ausgehen, das Irrationale nicht sowohl zu eliminiren,
weil diess in der Praxis doch nur ganz ausnahmsweise anging, als vielmehr
es durch rationale Näherungswerthe mit möglichst geringem Fehler zu ersetzen. Alles das nun, was auf diesem Gebiete einer annähernden thatsächlichen Berechnung quadratischer Irrationalitäten während des ganzen
Alterthums geleistet worden ist, suchen wir in den folgenden Paragraphen
zusammenzustellen.
~. 2. Die Quadractwiurzeln des Archimedes. Der erste griechische Mathematiker, der, was keiner vor ihm gethan, mit irrationalen Grössen rechnen
musste und sich nicht damit begnügen konnte, über dieselben zu spekuliren,
war Archimedes. Wie man weiss, hat sich derselbe in seiner iVKixov vE'QlLC
die Aufgabe gestellt, die Seiten gewisser um und in einen Kreis beschriebener
regelmässiger Vielecke in Theilen des Kreishalbmessers auszudrücken. Bekanntlich ist, wenn AC (Fig. 1) diesen Radius r, BC die halbe Seite
des umbeschriebenen regelmassigen Sechseckes bedeutet,
r: = - 1/3: 1.
2
Archimedes kann hier also nicht umhin, die Quadratwurzel durch eine
rechnerischer Behandlung zugänglichere Zahl zu ersetzen 24), und da er
durch einen für uns vorläufig noch ganz verborgenen Gedankengang gefunden hat, dass r: - ein wenig grösser als 265 153 ist, so substituirt
er obiger Proportion die mit einer Gleichung sehr nahe zusammentreffende
Ungleichung
I. r: > 265: 153.
2
a
Da ferner a: ~2 306: 153, so findet er durch die den Griechen sehr
geläufige Zusammensetzung der Verhältnisse
(r + a) ' > 571: 153.
Wird dann D auf BC so gewählt, dass <)BAD = -DAC wird,
so ist nach einem bekannten Elementarsatze
II. r: CD = (r + a): > 571: 153.
Um den nämlichen Satz ein zweitesmal anwenden zu können, nachdem
<) CAD durch die Gerade AE halbirt ist, berechnet Archimedes zunächst
r2: CD > 5712: 1532,
(r2 + ) > (572 + 53) 53
CD )CD > (5712 + 1532): 1532,