Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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schiedenen Standpunkten aus gelangt. Er habe sich nämlich zuerst durch
ein mehr empirisches Verfahren einen brauchbaren Werth verschafft und
habe erst nachher, um aus jenem Anfangswerthe eine grössere Anzahl mehr
und mehr genäherter Lösungen herzuleiten, den eigentlich methodischen Weg
betreten. Von diesem letzteren, der schliesslich auf eine ganzzahlige Auflösung gewisser Specialformen der Pell'schen Gleichung hinausführte, haben
wir - als von P. Tannery's erster Methode - bereits a. a. 0. nähere
Kenntniss genommen, und es bleibt uns demnach nur übrig, jetzt auch die
Anfangsprocedur des Archimedes, so wie sie sich nach der Auffassung des
französischen Forschers gestaltet, kennen zu lernen 276). Indem wir nachstehend die Tannery'sche Darstellung nicht unerheblich abkürzen, hoffen
wir auch zur Vereinfachung derselben Einiges beigetragen zu haben.
Man habe zwei Zahlenreihen
a, al, a2, a3** an '* *
bo0 b1, b b* *.bn * * *
von der Beschaffenheit, dass, unter c eine gewisse Constante verstanden,
an b= b- + an-ia,n= / an + C2
sein soll. Immer zwischen an und bn liegt eine gewisse Grösse*), auf
deren Werthbestimmung es ausschliesslich ankommt. Man soll nun -
einerseits durch Addition, andererseits durch Wurzelausziehung - jene
Grösse zwischen an und bn mehr und mehr einengen, und der Annäherungsprocess soll als beendet gelten, wenn sich ac von bn nur noch um eine ganz
geringfügige Grösse unterscheidet.
In dem für uns wichtigsten Falle ist
a = 265, b = 306, c = 153, c = 23409,
1 = 265 + 306 -- 571, b = 1/5712 + 23409.
Die dem Archimed zweifellos bekannte Formel la2 -- b D a - + 2a
ergiebt
23409
b-= 571 + 1142
*) Bekanntlich geht Archimedes auf die Bestimmung der Zahl c aus; die in
Kap. I, ~. 2 geschilderten geometrischen Betrachtungen führen auf die Ungleichungen
2n c z 2n. C
an > 6 bn
Wenn also an D b -= w gefunden ist, kann
3. 2-+ '. c
7t,_> ____.._ ____-_
gesetzt werden.
8*