Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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T2.(IvK
y(v), (2 [a + 1 + ~E + E3] -+ 4E) E, 2 (a + - l + 4)
(n) (n- 1) i=n-1,(n)
r = r - (2[a + EZ ~ + ), =
i=1 n+ -1 1 2(aC+ -'Ek)
k=l
Jedes neue E liefert uns ein - positives oder negatives - Zusatzglied, und wir haben sonach ein neues generelles Verfahren zur Darstellung
einer jeden quadratischen Irrationalzahl durch eine Bruchreihe erhalten.
Wenden wir dasselbe auf
/2 = /i2 — + -
1
an. In diesem Falle ist unser Berechnungsschema: a = 1, b = 1, E1 =3
r - - 1 —(2- 3 3 9 2 9 2 (3 + 3) 9 8 -3. 4
" 2 (2[ +-i 1_ _ i * 1 2 33 1
r === 2 -- + 4 + 1 2) - t 14 - B. -. 3 4 '
un9 da 1 9 144 144 2 44'
1 1 12. 1
/- = — 144 '+ r +2 + - - =1-}. -1 -4 '.342 12.34 123.4.34.12 3.5 4;l /. i ( [ 1
r ~ -- 1244.34-" t 3 1- 12-34 12.3 4
1] 1 )
144 144.342 1.22. 342'z
i 1154 1
E4 ~~ 12t:.342 12.34.4.34. 1154
Bleibt man hierbei stehen, so ist
T/2 1+ 1- 1 +__ 1 _ 1
3 3 3.4 3.4.34 3.4.34.1154
gefunden; Rodet hat also gezeigt, wie man den von Baudhayäna für 1/2
angegebenen aufsteigenden Kettenbruch beliebig weit fortzusetzen vermag.
Versuchen wir jetzt den indischen Werth für 1/3 in ganz derselben
Weise zu entwickeln. Wir haben
/3 = V12- 2, a =1, b 2,, = -,
=- 2- (2~+-)* 2 3- 2 1 2 9: (4 2 1
i -J ^+^.g-_2-9 — 9' -~'2 4 3 — 0- 3.5'
r 2 am 1 2 l 51
r -9 (2[l +3 -+ 15) 15 9 15 15'
Abh. zur Gesch. der Mathem. IV. 8