Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

abzielen, das Verfahren der Alten als ein nicht eben wesentlich von dem
heutzutage noch in unseren Schulen gelehrten Berechnungsmodus verschiedenes hinzustellen. Die Gesammtliteratur, welche allmählich über diesen
Gegenstand angewachsen ist, soll in diesen letzten- beiden Abschnitten zur
Besprechung gelangen, und wenn es auch vermessen wäre, zu sagen, dass
nichts Hierhergehöriges vergessen worden sei, so darf vielleicht doch der
Vermuthung Ausdruck gegeben werden, es treffe diese unbeabsichtigte Vernachlässigung wenigstens keine literarische Erscheinung von grossem Belang.
Dass in dem zweiten und dritten Theile auch manche geschichtlich gleichgültige, wohl aber für Zahlentheorie und algebraische Analysis wichtige
Nebenfragen eine Erörterung finden, wird wohl keiner besonderen Rechtfertigung bedürfen.
Kapitel 1.
Unmittelbare Zeugnisse des Alterthums.
~. 1. Das Irrationale bei den Griec7en. Dass schon in den ältesten
Zeiten ein gewisses Bedürfniss sich geltend machte, die Zahl kennen zu
lernen, welche mit sich selbst multiplicirt eine andere gegebene Zahl ergiebt, diess möchte wohl aus der Thatsache hervorgehen, dass Rawlinson
auf einer assyrischen Thonplatte eine zum Theil im decimalen, zum Theil
im sexagesimalen System gehaltene Tafel der sechzig ersten Quadratzahlen
entdeckte 3). Derartige Tabellen mochten wohl auch noch für die Griechen
des vorpythagoräischen Zeitalters dem Bedürfnisse vollkommen genügen;
man war zufrieden, zu wissen, dass, wenn m zwischen a2 und (a - 1)2
lag, nun auch I m zwischen a und (a + 1) enthalten sein müsse, und
hatte zunächst keine Veranlassung, eine Einschliessung zwischen näher an
einander liegenden Grenzen anzustreben. Die Entdeckung - dieser Ausdruck dürfte in einer Angelegenheit von so hervorragender Wichtigkeit
wohl am Platze sein - des Irrationalen denkt sich Cantor 4) in der Weise,
dass man*) die Erfahrungswahrheit, wonach die drei Seiten 3, 4, 5 ein
rechtwinkliges Dreieck liefern, zu verallgemeinern suchte: man hatte erkannt, dass für die Seiten dieses rechtwinkligen Dreiecks die Relation
32 -+ 42 = 52 bestehe, und verfiel nun darauf, zu untersuchen, ob etwas
Aehnliches auch bei anderen rechtwinkligen Dreiecken statthabe. Zunächst
nahm man wohl das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck vor, prüfte mit
dem Maassstab dessen Seitenlängen und überzeugte sich so, dass ein ge*) In ähnlicher Weise ward schon früher vom Verf. 4) die Auffindung des
pythagoräischen Lehrsatzes auf ein Experimentiren mit rechtwinkligen Dreiecken
von bestimmter Form zurückgeführt,