Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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In allen Fällen ist mit diesen Formeln die Darstellung irrationaler
Grössen durch - endliche oder unendlich fortlaufende - Bruchreihen vollzogen, und gelingt es dabei, Q-1 zu erhalten, so hat man jene Form
der Einheitsbrüche oder auch,Stammbrtiche" gewonnen, welche wir von
den Alten, vielleicht -der ägyptischen Tradition folgend, mit Vorliebe
angewendet sahen.
Wir wollen den einfacheren Theil dieses Verfahrens durch einige Beispiele erläutern. Für P== Q - 1, A - 5, haben wir 270)
1 + 1 5 —,5 —
2 b= 2
(1 + I )~ -) 1 (i -- I5)" (1 -+ y)y + (1 - 1_)
Un == 2n ] / 5 t n- 2
Gehen wir dann gleich zur unendlichen Reihe über, so ist zunächst
lin +_ _ 1 ( + V +5)+ - (_ V)
n (1~ O) n 0 5) 0(
flkn
1 + v5 1 1 1 1 1
12- i. __ _ __Y[1+ e_ __ 1 + C5
s 1 -- -- - -. 5
2 1. 1 l 2 2- 3 3 5 5 8 8 13'
Man erblickt in den Nennern dieser Bruchreihe wieder genau dieselben
ganzen Zahlen in der nämlichen Reihenfolge wiederkehrend, wie wir sie im
letzten Paragraphen des vorigen Kapitels als die Reihe von FibonacciLame bildend kennen gelernt haben.
Es sei ferner P == 2, Q - 1, a + b 2, -ab — 1, a 1- + 2,
b — = i- 2 yi
2y}/ ' 2 / 22
Un -, -
w~=~ = t= 1 2 * *.
Dann hat man
lim ^ -1+ r- 9
Un+2 1 2 2 * 5. 1 2 29
n-00
Daraus ergeben sich, wie man sieht, die uns bekannten Näherungswerthe, 2-, — / - 7 1'- - l7 V -2217