Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Kapitel III.
Ableitung der antiken Quadratwurzeln durch Entwickelung
in Bruchreihen.
~. 1. Die allgemeine Entwvickelungsmetihoce von E. Lucas. Eine solche
Methode ist gegeben durch jene Funktionen U und V von Eduard Lucas,
welche man mit Grund als die erzeugenden Funktionen der goniometrischen
Grössen cyklischer wie hyperbolischer Zugehörigkeit bezeichnen könnte. Um
sie zu erhalten, setze man für die quadratische Gleichung x2 - Px - Q 268)
P= a + -, Q = ab
und sodann
On __ bn
U n - -b' Vn = lln + bn.
Dann gilt, zunächst als identische Gleichung, die folgende 269):
n+1 2, (3 21;\j4,; Un\ - i+ __ \
_n + 1 T2 Jir\ u2ujl 4\u T3,Il 1\j (_
~Ü -^ - - + (Ü - U) + ( - - + * ' * + (l_ U
Fasst man zusammen und erinnert sich der obigen Bedeutung von Q,
so kann man auch schreiben:
Un~+ _ u Q 2_ Q3 Qi
Un Ui U, U2 U2 U3 U3U4 un - T Un
Diese Reihe lässt sich, wie folgt (a. a. 0.), verallgemeinern:
(n +, r _ m 2 (- J- + -+. -2 - )r nr
Vnr VO VO +V Vi 2r -1). V
A bedeutet hier die Diskriminante (P2 - 4Q) der Fundamentalgleichung. Und noch allgemeiner ist die aus der vorstehenden abgeleitete
Reihenentwickelung:
'n +- 1 r- \ + r (n ~+ r Vn + -2r Vn+ 2r fVn+3r
Q(k -- I),r
in +ehur n. r UTn r T di- r au er r hen a li3r
Vkn (-l)r r2 -~(k- 1),. r
L~~~ ~~~~~^+~tl~ (2" Q2il*