Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

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Werden hieraus in einer sofort näther zu bezeichnenden Weise neue
Brüche hergeleitet, welche zum Unterschiede einen zweifachen Akut fahren
sollen, so bekommt man
P1 z / e 0 2/ 1 9 5 3 /38 \ 21
Q1 2 J1 2 1 2 4 3 2 17 34
'_ 1 1 -61 - 89
Q4 2 \72 144
und es entstehen nachfolgende Gleichheiten:
P;' P2 P2 P, P3 P8 P4 Pl n _ P3 -1
Q31 Q2 Q2 Q5' Q3 4 Q 1 1 Q 3 Qsn -1
Die mit zwei Strichen bezeichneten Näherungswerthe besitzen mithin
eine bei weitem raschere Convergenz. Wollen wir die Beziehungen zwischen
beiden in einem kurzen Satze zusammenfassen, so können wir mit Bezug
auf das in ~. 13 dieses Kapitels erörterte Kunstwort sagen:
Die aus der Kettenbruchentwickelung von 1/5 entspringenden Niherungswerthe besitzen, wenn sie nach Abzug der Einheit durch 2 dividirt werden,
zu den direkt aus der Kettenbruchentwickelung von
x - 1
hervorgehenden Näherungswerthen eine n - (3n - 1)fache Aequivalenz.
Mit diesen Ausführungen dürfte die Stellung der von Hultsch aus
archäologisch- mathematischen Gründen in die Wissenschaft eingeführten
Zahlwerthe zu den bekannten Kettenbruchentwickelungen hinlänglich fixirt
sein. Damit jedoch, dass letztere den einfachsten und kürzesten Weg zu
diesem Zwecke darbieten, soll durchaus noch nicht gesagt sein, dass derselbe von den alten Griechen wirklich eingeschlagen worden sei. Es wäre
ein solcher Schluss um so unhistorischer, als wir ganz genau wissen, dass
ein mittelalterlicher Gelehrter, dem die Kettenbrüche ebenso ferne lagen,
wie den hellenischen Baumeistern, die hier in Frage kommende Reihe
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... mit äusserst beschränkten und einfachen Htilfsmitteln
einer sehr genauen Untersuchung unterzogen hat. Es ist das Verdienst
von E. Lucas, diese rekurrente Reihe einfachster Natur, die gewöhnlich
den Namen Lame's führt, u. a. früher bereits auch von Albert Girard betrachtet worden ist, bei Leonardo Fibonacci nachgewiesen zu haben 266).
Lucas zeigt dort 267) auch, dass und wie sich ohne jede Zuhülfenahme
der Kettenbrüche eine Theorie dieser Reihe algebraisch auf die Relationen
erind _ + la Us (1 ) ( ( 2)
begründen lässt